Файл:Van Lamoen circle.svgОкружность Ламуна, проходящая через центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: <math>A_b</math>, <math>A_c</math>, <math> B_c</math>, <math>B_a</math>, <math>C_a</math>, <math>C_b</math>
В планиметрииокружность Ламуна — это специальная окружность, которую можно построить в любом треугольнике <math>T</math>. Она содержит центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник <math>T</math> разрезают три его медианы.[1][2]
Пусть для определенности <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> — 3 вершины треугольника <math>T</math>, и пусть <math>G</math> — его центроид (пересечение трёх медиан). Пусть <math>M_a</math>, <math>M_b</math> и <math>M_c</math> — середины сторон <math>BC</math>, <math>CA</math> и <math>AB</math> соответственно. Тогда центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: <math>AGM_c</math>, <math>BGM_c</math>, <math> BGM_a</math>, <math>CGM_a</math>, <math>CGM_b</math> и <math>AGM_b</math>, лежат на общей окружности, которая называется окружностью Ламуна (Шаблон:Lang-en).[2]
Окружность Ламуна так названа в честь математика Ламуна (Floor van Lamoen), который сформулировал это как задачу (проблему) в 2000 г.[3]. Доказательство было предоставлено Кин Я. Ли (Kin Y. Li) в 2001 г.
[4],[5]
Свойства
Центром окружности Ламуна является точка <math>X(1153)</math> в Энциклопедии центров треугольника К. Кимберлинга.
В 2003 году Алексей Мякишев и Петер Й. Ву (Peter Y. Woo) доказали, что обратное утверждение теоремы почти всегда справедливо в следующем смысле: пусть <math>P</math> — любая точка внутри треугольника, и
<math>AA'</math>, <math>BB'</math> и <math>CC'</math> — три его чевианы, то есть отрезки, которые соединяют каждую вершину с <math>P</math>, продолженные до их пересечения с противоположной стороной. Тогда описанные окружности шести треугольников <math>APB'</math>, <math>APC'</math>, <math>BPC'</math>, <math> BPA'</math>, <math>CPA'</math> и <math>CPB'</math>
лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда <math>P</math> является центроидом треугольника <math>T</math> или его ортоцентром (точкой пересечения трёх его высот).
[6] Более простое доказательство этого результата было дано Нгуен Минь Ха (Nguyen Minh Ha) в 2005 году.[7]
