Русская Википедия:Октаэдральное число

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Octahedral number.jpg

146 магнитных шариков, образующие октаэдр

Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чиселШаблон:Sfn:

<math>O_n = \Pi^{(4)}_{n-1} + \Pi^{(4)}_n</math>

Общая формула для <math>n</math>-го по порядку октаэдрального числа <math>O_n</math>:

<math>O_n = {n(2n^2 + 1) \over 3}</math>

Первые из октаэдральных чисел (Шаблон:OEIS):

<math>1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670 \dots</math>

Рекуррентная формула:

<math>O_{n+1} = O_n + (n+1)^2 + n; \quad O(1) = 1</math>

Производящая функция последовательности:

<math> \frac{x(x+1)^2}{(x-1)^4} = \sum_{n=1}^{\infty} O_n x^n = x + 6x^2 + 19x^3 + \cdots; \quad |x|<1</math>

Связь с фигурными числами других типов

Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными. Связь с тетраэдральными числами <math>\mathbb{T}_n</math>:

<math>O_n + 4\mathbb{T}_{n-1} = \mathbb{T}_{2n-1}</math>

Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра, то получится тетраэдр удвоенного размера.

Ещё один вид связи:

<math>O_n = \mathbb{T}_n + 2\mathbb{T}_{n-1} + \mathbb{T}_{n-2}</math>

Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани.

Связь с тетраэдральными и кубическими числами:

<math>O_n+2\mathbb{T}_{n-1}=n^3</math>

Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число:

<math>O_{n+1} - O_n = C^{4}_{n+1} = (n+1)^2 + n^2</math>

Гипотеза Поллока

В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. выдвинул предположение, что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего:

• 309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых;
• Шаблон:Число — последнее число, требующее шесть слагаемых;
• Шаблон:Число — последнее число, требующее пять слагаемых.

Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемыхШаблон:Sfn.

Применение

В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. «магические кластеры»).

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld