Русская Википедия:Омега-функция Райта

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:WrightOmega.png

Омега-функция Райта на части действительной оси

Омега-функция Райта или функция Райта (обозначается ω) — математическая функция, определяемая через W-функцию Ламберта как:

<math>\omega(z) = W_{\big \lceil \frac{\mathrm{Im}(z) - \pi}{2 \pi} \big \rceil}(e^z).</math>

Применение

Одним из основных применений этой функции является решение уравнения z = ln(z), поскольку единственным решением является z = е^{−ω(π i)}.

y = ω(z) — единственное решение при <math>z \neq x \pm i \pi</math>, х ≤ −1 уравнения y + ln(y) = z. За исключением этих двух лучей, омега-функция Райта является непрерывной, даже аналитической.

Cвойства

Омега-функция Райта удовлетворяет соотношению <math>W_k(z) = \omega(\ln(z) + 2 \pi i k)</math> ,

Она также удовлетворяет дифференциальному уравнению

<math> \frac{d\omega}{dz} = \frac{\omega}{1 + \omega}</math>

везде, где ω является аналитической (это можно увидеть, выполнив разделение переменных и восстановив уравнение <math>\ln(\omega)+\omega = z</math> ) и, как следствие, его интеграл может быть выражен как:

<math>

\int w^n \, dz = \begin{cases}

\frac{\omega^{n+1} -1 }{n+1} + \frac{\omega^n}{n} & \mbox{if } n \neq -1, \\
\ln(\omega) - \frac{1}{\omega} & \mbox{if } n = -1.

\end{cases} </math>

Его ряд Тейлора вокруг точки <math> a = \omega_a + \ln(\omega_a) </math> принимает форму:

<math>\omega(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{q_n(\omega_a)}{(1+\omega_a)^{2n-1}}\frac{(z-a)^n}{n!}</math>

где

<math>q_n(w) = \sum_{k=0}^{n-1} \bigg \langle \! \! \bigg \langle

\begin{matrix}

n+1 \\
k

\end{matrix} \bigg \rangle \! \! \bigg \rangle (-1)^k w^{k+1}</math>

в котором

<math>\bigg \langle \! \! \bigg \langle

\begin{matrix}

n \\
k

\end{matrix} \bigg \rangle \! \! \bigg \rangle</math>

— эйлерово число второго порядка.

Значения

<math>

\begin{array}{lll} \omega(0) &= W_0(1) &\approx 0.56714 \\ \omega(1) &= 1 & \\ \omega(-1 \pm i \pi) &= -1 & \\ \omega(-\frac{1}{3} + \ln \left ( \frac{1}{3} \right ) + i \pi ) &= -\frac{1}{3} & \\ \omega(-\frac{1}{3} + \ln \left ( \frac{1}{3} \right ) - i \pi ) &= W_{-1} \left ( -\frac{1}{3} e^{-\frac{1}{3}} \right ) &\approx -2.237147028 \\ \end{array} </math>

Графики

• Plots of the Wright Omega function on the complex plane
• z = Re (ω ( x + i y ))

  z = Re (ω ( x + i y ))

• z = Im (ω ( x + i y ))

  z = Im (ω ( x + i y ))

• ω ( x + i y )

  ω ( x + i y )

Ссылки

• "On the Wright ω function", Robert Corless and David Jeffrey Шаблон:Wayback