Русская Википедия:Омега (постоянная)
Постоянная омега — это математическая константа, определяемая как единственное действительное число, которое удовлетворяет уравнению
- <math>\Omega e^{\Omega} = 1</math>.
Это значение <math>W(1)</math>, где <math>W</math> — W-функция Ламберта. Название происходит от альтернативного названия W-функции Ламберта — омега-функции. Числовое значение <math>\Omega</math>:
- <math>\Omega = 0.567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\,355\,549\,753\,815\,787\,186\,512\,508\,135\,131\,079\ldots</math> (Шаблон:OEIS)
- <math>\frac{1}{\Omega} = 1.763\,222\,834\,351\,896\,710\,225\,201\,776\,951\,707\,080\,436\,017\,986\,667\,473\,634\,570\,456\,905\ldots</math> (Шаблон:OEIS)
Свойства
Представление в виде неподвижной точки отображения
Определяющее соотношение можно выразить, например, как
- <math>\ln\biggl(\frac{1}{\Omega}\biggr) = \Omega</math>
или
- <math>-\ln(\Omega) = \Omega</math>
или
- <math>e^{-\Omega} = \Omega</math>
Вычисление
Можно вычислить <math>\Omega</math> итеративно, начав с первоначального предположения <math>\Omega_0</math> и рассмотрев последовательность
- <math>\Omega_{n+1} = e^{-\Omega_n}</math>
Эта последовательность сходится к <math>\Omega</math>, когда n стремится к бесконечности. Это потому, что <math>\Omega</math> является притягивающей неподвижной точкой функции <math>e^{-x}</math>. Однако намного эффективнее использовать рекуррентное соотношение
- <math>\Omega_{n+1} = \frac{1 + \Omega_n}{1 + e^{\Omega_n}}</math>,
потому что функция
- <math>f(x)=\frac{1+x}{1+e^x}</math>,
помимо того, что имеет ту же неподвижную точку, также имеет производную, которая там обращается в нуль. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр примерно удваивается с каждой итерацией.
Используя метод Галлея, <math>\Omega</math> можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости:
- <math>\Omega_{j+1}=\Omega_j-\frac{\Omega_j e^{\Omega_j}-1}{e^{\Omega_j}(\Omega_j+1)-\frac{(\Omega_j+2)(\Omega_je^{\Omega_j}-1)}{2\Omega_j+2}}</math>.
Интегральные представления
Тождество Виктора Адамчика:
- <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{dt}{(e^t-t)^2+\pi^2} = \frac{1}{1+\Omega}</math>.
Еще одно соотношение, связанное с И. Мезо[1][2]:
- <math>\Omega=\frac{1}{\pi}\operatorname{Re}\int_0^\pi\log\left(\frac{e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}\right) dt</math>,
- <math>\Omega=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\log\left(1+\frac{\sin t}{t}e^{t\cot t}\right)dt</math>.
Трансцендентность
Константа <math>\Omega</math> трансцендентна. Это можно рассматривать как прямое следствие теоремы Линдемана — Вейерштрасса. Предположим, что <math>\Omega</math> алгебраическое. По теореме <math>e^{-\Omega}</math> трансцендентно, но <math>\Omega=e^{-\Omega}</math>; противоречие. Следовательно, <math>\Omega</math> должно быть трансцендентным числом.
См. также
Примечания
Источники
Шаблон:Числа с собственными именами
