Русская Википедия:Операда
Операда даёт общий подход к описанию таких свойств, как коммутативность или антикоммутативность, а также различные вариации ассоциативности. Отношение алгебры и операды похожи на отношение представлений групп и групп.
Определение
Операда (клон полилинейных операций) — семейство множеств <math>\{ R_n, \; n\geqslant 1 \}</math> с левым действием симметрических групп <math>S_n</math> на соответствующих <math>R_n</math> и с операциями композиции:
- <math>R_{n_1}\times\ldots\times R_{n_m}\times R_m \to R_{n_1+\ldots+n_m}:(r_1,\;\ldots,\;r_m,\;r)\to r_1\ldots r_mr,</math>
удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:
- <math>(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_11}r_1)\ldots(r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_mm}r_m)r=(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_11}\ldots r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_mm})(r_1\ldots r_mr)</math>
и наличию единицы <math>\varepsilon\in R_1:(\varepsilon\ldots\varepsilon)r=r,\quad r\varepsilon=r</math>.
Операда называется линейной, если <math>R_n</math> являются пространствами, действия симметрических групп <math>S_n</math> являются представлениями, а композиции полилинейны.
Алгебра над линейной операдой — это пространство <math>A</math> c полилинейными операциями композиции:
- <math>A^{\otimes n}\otimes_{S_n}R_n\to A:a_1\otimes\ldots\otimes a_n\otimes r\to a_1\ldots a_nr</math>
со свойствами унитарности <math>a\varepsilon=a</math> и обобщённой ассоциативности:
- <math>(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_11}r_1)\ldots(a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_mm}r_m)r=(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_11}\ldots a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_mm})(r_1\ldots r_mr).</math>
Примеры
Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.
- Простейшей операдой является ассоциативное кольцо <math>R</math> с единицей: <math>R_1=R,\quad R_{>1}=\{0\}</math>. Алгебра над ней — это правый <math>R</math>-модуль.
- Структуру линейной операды можно определить на семействе групповых алгебр над симметрическими группами <math>\{k(S_n),\;n\geqslant 1\}</math>, а также и на <math>\{k(G^n),\;n\geqslant 1\}</math>, где <math>G</math> — моноид.
История
Алгебры над операдами, без явного определения этих понятий, были впервые по существу использованы американским математиком en (Jim Stasheff) в статье 1963 года. Композиционные комплексы были введены американским математиком Мюрреем Герстенхабером в статье 1968 года. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры были введены советским алгебраистом В. А. Артамоновым в статье 1969 года. Немного позднее родственное понятие операд и алгебр над ними было открыто американским топологом Дж. Питером Мэем. С тех пор западные учёные считают изобретателем операд Питера Мэя.[1] Примерно в то же самое время американский тополог Майкл Бордман и немецкий тополог Райнер Фогт написали труд, считающийся классическим в теории операд, используя вместо этого названия ПРОПы Маклейна и алгебраические теории Ловера.
Примечания
Литература
- Stasheff J. D. Homotopy Associativity of H-Spaces. I // Transactions of the American Mathematical Society. — 1963. — vol. 108. — No. 2. — pp. 275—292.
- Gerstenhaber M. On the deformations of rings and algebras:III // Annals of Mathematics, Second Series. — 1968. — vol. 88. — No. 1. — pp. 1—34.
- Артамонов В. А. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры // УМН. — 1969. — т. 24. — № 1. — с. 47—59.
- May J. P. The geometry of iterated loop spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 271. — Berlin: Springer-Verlag, 1972. — 175 p.
- Boardman J. M.; Vogt R. M. Homotopy Invariant Algebraic Structures on Topological Spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 347. — Berlin: Springer-Verlag, 1973.
