Русская Википедия:Операторная норма
Операторная норма — норма определённая на ограниченных линейных операторах из одного нормированного пространства в другое. Также называется операторной, подчинённой или индуцированной нормой.
Операторная норма превращает само линейное пространство операторов в нормированное пространство. Соответственная структура линейного топологического пространства операторов называется топологией нормы, или операторной топологией (без уточнения).
Определение и обозначения
В дальнейшем через Шаблон:Mvar будет обозначено основное поле, являющееся нормированным полем. Обычно Шаблон:Math или Шаблон:Math.
Пусть Шаблон:Math и Шаблон:Math — два нормированных линейных пространства над Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar — линейный оператор из Шаблон:Math в Шаблон:Math. Если существует такое неотрицательное число[1] Шаблон:Mvar, что
- <math>\forall x\in V_1: \|Tx\| \leqslant M\|x\|,</math>
то оператор Шаблон:Mvar называется ограниченным, а наименьшее такое возможное Шаблон:Mvar — его нормой Шаблон:Math. Если Шаблон:Math конечномерно, то всякий оператор ограничен.
Норма оператора Шаблон:Mvar может быть вычислена по формулеШаблон:Sfn:
- <math> \begin{align}
\|T\| &= \sup\{\|Tx\| : x\in V_1,\ \|x\|= 1\} \\ &= \sup\left\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|} : x\in V_1,\ x\ne 0\right\}. \end{align} </math> Если пространство Шаблон:Math состоит из одного нуля, то приведённая формула не работает, но Шаблон:Math поскольку Шаблон:Math.
Линейное пространство ограниченных операторов из Шаблон:Math в Шаблон:Math обозначается <math>L(V_1,V_2)</math>. В случае когда <math>V_1=V_2=V</math> пишут <math>L(V)</math> вместо <math>L(V,V)</math>. Если <math>H</math> — гильбертово пространство, то иногда пишут <math>B(H)</math> вместо <math>L(H)</math>.
Свойства
Ограниченность и непрерывность
Шаблон:Main Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогдаШаблон:Нет АИ и только тогда, когда он непрерывен.
Норма
На <math>L(V_1,V_2)</math> можно ввести структуру векторного пространства с операциями <math>(T+S)x=Tx+Sx</math> и <math>T(\alpha x)=\alpha (Tx)</math>, где <math>T,S\in L(V_1,V_2)</math>, <math>x\in V_1</math>, а <math>\alpha\in K</math> — произвольный скаляр. Операторная норма делает линейное пространство ограниченных операторов нормированным пространством, то есть удовлетворяет соответственным аксиомам:
- <math>\|T\|\geqslant 0</math> (по определению)
- <math>\|T\|= 0</math> тогда и только тогда, когда <math>T=0</math> (следует из определения нормированного пространства)
- <math>\|\alpha T\|=|\alpha| \|T\|</math> для всех <math>\alpha</math> из <math>K</math>
- <math>\|S+T\| \leqslant \|S\|+\|T\|</math> для всех ограниченных операторов <math>S</math> и <math>T</math> из Шаблон:Math в Шаблон:Math.
Субмультипликативность
Если Шаблон:Mvar — оператор из Шаблон:Math в Шаблон:Math, а Шаблон:Mvar — оператор из Шаблон:Math в Шаблон:Math, то их произведение Шаблон:Math определяется как композиция функций Шаблон:Math. Операторная норма удовлетворяют свойству субмультипликативности:
- <math>\|ST\| \le \|S\|\|T\| </math>.
В случае Шаблон:Math, ограниченные операторы можно перемножать не выходя из пространства <math>L(V)</math>, и потому операторная норма превращает операторную алгебру <math>L(V)</math> в нормированную алгебру.
Полнота
Пространство <math>L(V_1,V_2)</math> является банаховым тогда и только тогда, когда Шаблон:Math нульмерно[2] или Шаблон:Math банахово.
Если Шаблон:Mvar — банахово пространство, то <math>L(V)</math> с введённым выше умножением является банаховой алгеброй.
Примеры использования
Между конечномерными пространствами
Операторные нормы (для различных норм на векторах) составляют важный класс возможных норм на пространствах матриц.
На гильбертовых пространствах
Шаблон:Main Алгебра ограниченных операторов <math>L(H)</math> (на гильбертовом пространстве Шаблон:Mvar) с операторной нормой является C*-алгеброй с операцией инволюции, задаваемой эрмитовым сопряжением. При этом, алгебра компактных операторов является её замкнутой *-подалгеброй и даже идеалом.
Сравнения
Операторной нормы с другими нормами
Шаблон:Main На операторах на гильбертовом пространстве определены и другие, более сильные, нормы, например норма Гильберта — Шмидта. В бесконечномерном случае, такие нормы не определены (бесконечны) на некоторых ограниченных операторах.
Топологии нормы с другими
В конечномерном случае (когда оба пространства Шаблон:Math и Шаблон:Math конечномерны), <math>L(V_1,V_2)</math> тоже конечномерно и все топологии (и нормы) на таком линейном пространстве эквивалентны. Однако, когда оба пространства Шаблон:Math и Шаблон:Math бесконечномерны, на <math>L(V_1,V_2)</math> возможны более слабые (грубые) топологии:
- Сильная операторная топология; название вводит в заблуждение, так как она слабее (грубее) топологии нормы.
- Шаблон:Iw; ещё слабее (грубее).
Литература
- Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997. 336с. ISBN 5-88688-016-X
- Шаблон:Книга
Примечания
Шаблон:Примечания Шаблон:Нет источников
- ↑ В общем случае — элемент упорядоченного поля, в котором принимает значения нормирование на Шаблон:Mvar.
- ↑ В таком случае <math>L(V_1,V_2) = \{0\}</math>, а оно полно.
