Русская Википедия:Операторы рождения и уничтожения

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы, которые широко применяются в квантовой механике, особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных системШаблон:Sfn. В квантовой теории поля волновые функции квантованных полей имеют операторный смысл и распадаются на операторы рождения и уничтожения частицШаблон:Sfn. Оператор уничтожения (обычно обозначаемый <math>\hat{a}</math>) уменьшает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор рождения (обычно обозначаемый <math>\hat{a}^\dagger</math>) увеличивает количество частиц в заданном состоянии на единицу, он сопряжен к оператору уничтожения. Эти операторы используются вместо волновых функций во многих областях физики и химии (вторичное квантование). Понятие операторов рождения и уничтожения было введено в науку Полем Дираком[1].

Операторы рождения и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто воздействуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора. В последнем случае оператор повышения (понижения) интерпретируется как оператор рождения (уничтожения), добавляющий (удаляющий) квант энергии в (из) систему(ы) осциллятора. Они могут быть использованы для представления фононов.

Математика для операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора. Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, в то время как все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Однако для фермионов математика иная, с использованием антикоммутаторов вместо коммутаторовШаблон:Sfn.

Определение

Пусть <math>H</math> — одночастичное гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние отдельной частицы). (Бозонной ККС алгеброй над гильбертовым пространством <math>H</math> называется алгебра с сопряженными операторами (обозначаемыми *) абстрактно порождаемая элементами <math>a(f)</math>, где <math>f</math> принадлежит <math>H</math>, с учетом соотношений:

<math>[a(f),a(g)]=[a^\dagger(f),a^\dagger(g)]=0</math>
<math>[a(f),a^\dagger(g)]=\langle f\mid g \rangle,</math>

в обозначениях бра и кет.

Отображение <math>a: f \to a(f)</math> из <math>H</math> в бозонную алгебру ККС должно быть комплексным Шаблон:Не переведено 5. Сопряженный к элементу <math>a(f)</math> является <math>a^\dagger(f)</math>, и отображение <math>f\to a^\dagger(f)</math> является Шаблон:Не переведено 5 в Шаблон:Mvar. Таким образом, <math>H</math> используется как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент <math>a(f)</math> будет реализован как оператор уничтожения, а <math>a^\dagger(f)</math> — как оператор рождения.

В общем случае алгебра ККС является бесконечномерной. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C *-алгеброй. Алгебра ККС над <math>H</math> тесно связана, но не идентична Шаблон:Не переведено 5.

Для фермионов (фермионная) КАС алгебра над <math>H</math> строится аналогично, но вместо этого использует отношения антикоммутации, а именно

<math>\{a(f),a(g)\}=\{a^\dagger(f),a^\dagger(g)\}=0 </math>
<math>\{a(f),a^\dagger(g)\}=\langle f\mid g \rangle.</math>

КАС алгебра конечномерна только в том случае, если <math>H</math> конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно становится <math>C^*</math> алгеброй. КАС алгебра тесно связана с алгеброй Клиффорда, но не идентична ей.

Физический смысл оператора <math>a(f)</math> заключается в уничтожении частицы в состоянии <math>|f\rangle</math> тогда как <math>a^\dagger(f)</math> создает частицу в состоянии <math>|f\rangle</math>.

Вакуумным состоянием свободного поля является состояние <math>\left| 0 \right\rangle</math> без частиц, характеризуемое как:

<math>a(f) \left| 0 \right\rangle=0.</math>

Если <math>|f\rangle</math> отнормирован, так что <math>\langle f|f\rangle = 1</math>, тогда <math>N=a^\dagger(f)a(f)</math> дает число частиц в состоянии <math>|f\rangle</math>.

Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля

Шаблон:Main

В квантовых теориях поля и Шаблон:Не переведено 5 используются операторы рождения и уничтожения квантовых состояний, <math>a^\dagger_i</math> и <math>a^{\,}_i</math>. Эти операторы изменяют собственные значения Шаблон:Не переведено 5,

<math>N = \sum_i n_i = \sum_i a^\dagger_i a^{\,}_i</math>,

на единицу, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, <math>i</math>) представляют квантовые числа, которые обозначают одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются одиночными числами. Например, кортеж квантовых чисел <math>(n, l, m, s)</math> используется для обозначения состояний в атоме водорода.

Коммутационные соотношения операторов создания и уничтожения в системе с несколькими бозонами являются,

<math>[a^{\,}_i, a^\dagger_j] \equiv a^{\,}_i a^\dagger_j - a^\dagger_ja^{\,}_i = \delta_{i j},</math>
<math>[a^\dagger_i, a^\dagger_j] = [a^{\,}_i, a^{\,}_j] = 0,</math>

где <math>[\ \ , \ \ ]</math> — коммутатор и <math>\delta_{i j}</math> — cимвол Кронекера.

Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором <math>\{\ \ , \ \ \}</math>,

<math>\{a^{\,}_i, a^\dagger_j\} \equiv a^{\,}_i a^\dagger_j +a^\dagger_j a^{\,}_i = \delta_{i j},</math>
<math>\{a^\dagger_i, a^\dagger_j\} = \{a^{\,}_i, a^{\,}_j\} = 0.</math>

Следовательно, обмен непересекающимися (то есть <math> i \ne j </math>) операторами в операторах создания или уничтожения изменит знак в системах фермионов, но не в системах бозонов.

Если состояния, обозначенные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H, то результат этой конструкции совпадает с построением алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе. Если они представляют собственные векторы, соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, то интерпретация более тонкая.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Dirac, PAMD (1927). The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Proc Roy Soc London Ser A, 114 (767), 243—265.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Операторы_рождения_и_уничтожения&oldid=10518121