Русская Википедия:Оператор Гильберта — Шмидта
Оператор Гильберта — Шмидта — класс компактных операторов в гильбертовом пространстве
Определение
Пусть <math>T: H \to K </math> - компактный оператор между гильбертовыми пространствами.
Для <math>T</math> можно выбрать ортонормированные системы <math> \{e_{1}^{'}, e_{2}^{'},...\} \subset H</math>, <math> \{e_{1}^{}, e_{2}^{},...\} \subset K</math> и последовательность неотрицательных чисел <math> \{s_n\}</math> так, что <math> Tx=\sum_{n}s_n(x, e_{n}^{'})e_{n}^{}</math>.
<math>T</math> называют оператором Гильберта — Шмидта, если для его <math>s</math>-чисел выполнено неравенство: <math>\sum_{n}s_n^2 < \infty </math>.
Класс операторов Гильберта — Шмидта обозначают: <math>\mathbf{S}_2(H, K)</math>
Свойства
- Класс <math>\mathbf{S}_2(H, K)</math> представляет собой банахово пространство относительно нормы <math> ||T||_{HS} = \sqrt{\sum_{n}s_n^2} </math>
- Совокупность операторов конечного ранга плотна в <math>\mathbf{S}_2(H, K)</math>
- Пространство <math>\mathbf{S}_2(H, K)</math> - сепарабельно, если <math> H, K</math> - сепарабельны
- Если <math> T_1, T_2 \in \mathbf{S}_2(H)</math>, то <math> T = T_1 T_2 </math> - ядерный оператор и
<math> ||T||_{\mathcal{N}} \le ||T_1||_{HS} ||T_2||_{HS} </math>
- В конечномерном пространстве норма Гильберта — Шмидта совпадает с нормой Фробениуса
- Композиция оператора Гильберта — Шмидта с любым ограниченным оператором является оператор Гильберта — Шмидта
- <math> T </math> - оператор Гильберта — Шмидта, если найдутся такие ортонормированные базисы <math> \{e_n\}_{n \in I}</math> и <math> \{f_m\}_{m \in J}</math> в пространстве <math> H </math> и <math> K </math> соответственно, что <math> \sum _ {n, m} | \langle T(e_n),f_m \rangle_K |^2 < +\infty </math>. Величину <math>\langle T(e_n),f_m \rangle_K </math> называют матричным элементом оператора<math> T </math>. Их совокупность образует аналог матрицы линейного оператора. Таким образом, операторы Гильберта — Шмидта — операторы с квадратично суммируемой матрицей.
Скалярное произведение Гильберта — Шмидта
Класс <math> \mathbf{S}_2(H) </math> можно естественным образом превратить в гильбертово пространство, если для операторов <math> T_1, T_2 \in \mathbf{S}_2(H)</math> ввести скалярное произведение:
<math> \langle T_1, T_2 \rangle = \operatorname{Tr}(T_1 T_2^{*}) = \operatorname{Tr}(T_2^{*} T_1)</math>, которое вдобавок согласуется с <math>||\cdot||_2 </math>.
Из этого следует ряд свойств:
- Класс <math> \mathbf{S}_2(H) </math> - сепарабельное гильбертово пространство.
- Пусть <math>\{e_{k}^{'}\}</math> и <math>\{e_{l}^{}\}</math> - какие-либо ортонормированные базисы в <math> H </math>. Тогда система одномерных операторов <math> T_{kl} = (\cdot, e_{k}^{'})e_{l}^{}</math> образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве <math> \mathbf{S}_2(H) </math>
Примеры
- Оператор в <math> L_2[a,b]</math> является оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда он является интегральным оператором с квадратично интегрируемым ядром.
- Ядерный оператор является оператором Гильберта — Шмидта
Литература
См. также
