Русская Википедия:Оператор Дирака

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Оператор Дирака — общее название дифференциальных операторов, которые являются квадратными корнями некоторого оператора второго порядка, чаще всего оператора Лапласа и его аналогов.

То есть оператор <math>D</math> является оператором Дирака для данного оператора второго порядка <math>\Delta</math>, если

<math>D^2=\Delta.</math>

В физике высоких энергий это требование часто ослабляется: предполагается только, что главная часть <math>D^2</math> совпадает с <math>\Delta</math>.

Примеры

• <math>D=-i\cdot \partial_x</math> является оператором Дирака на касательном расслоении над прямой.
• Для дифференциальных форм на римановом многообразии оператор Дирака можно определить как

<math>D=\sum_i e_i\bullet \nabla_{e_i},</math>

где <math>e_i</math> — ортонормированный репер в точке, <math>\nabla</math> — связность, а <math>\bullet</math> — умножение Клиффорда. Его квадрат

<math>D^2=\sum_{i,j} e_i\bullet e_j\bullet\nabla^2_{e_i,e_j}</math>

называется лапласианом Дирака; для функций он совпадает с оператором Лапласа — Бельтрами, но он также определён на формах всех степеней.

Литература

• Шаблон:Книга