Русская Википедия:Оператор Лапласа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом <math>\ \Delta</math>. Функции <math>F\ </math> он ставит в соответствие функцию

<math>\Delta F={\partial^2 F \over \partial x_1^2} + {\partial^2 F \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 F \over \partial x_n^2}</math>

в n-мерном пространстве.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля <math>\ \operatorname{grad}F</math> в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math>, то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

Оператор Лапласа для вектора <math>\mathbf{A} = A_{x}\mathbf {i} + A_{y}\mathbf {j} + A_{z}\mathbf {k} </math>:

<math>\Delta \mathbf{A} = {\Delta }A_{x}\mathbf {i} + {\Delta }A_{y}\mathbf {j} + {\Delta }A_{z}\mathbf {k} =

\biggl(\frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf i+ \biggl(\frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf j+ \biggl(\frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf k </math>

Лапласиан вектора - тоже вектор.

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция <math>\ f (x)</math> имеет в окрестности точки <math>\ x_0</math> непрерывную вторую производную <math>\ f(x)</math>, то, как это следует из формулы Тейлора

<math>\ f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f(x_0)+o(r^2),</math> при <math>r\to 0,</math>,

<math>\ f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f(x_0)+o(r^2),</math> при <math>r\to 0,</math>

вторая производная есть предел

<math>\ f(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}.</math>

Если, переходя к функции <math>\ F</math> от <math>\ k</math> переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки <math> M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0)</math> рассматривать её <math>\ k</math> -мерную шаровую окрестность <math>\ Q_r</math> радиуса <math>\ r</math> и разность между средним арифметическим

<math>\ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma</math>

функции <math>\ F</math> на границе <math>\ S_r</math> такой окрестности с площадью границы <math>\ \sigma(S_r)</math> и значением <math>\ F(M_0)</math> в центре этой окрестности <math>\ M_0</math>, то в случае непрерывности вторых частных производных функции <math>\ F</math> в окрестности точки <math>\ M_0</math> значение лапласиана <math>\ \Delta F</math> в этой точке есть предел

<math>\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.</math>

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции <math>\ F</math>, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

<math>\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\},</math> где <math>\ \omega(Q_r)</math> — объём окрестности <math>\ Q_r.</math>

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в.

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции <math>\ F.</math> Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве <math>q_1,\ q_2,\ q_3</math>:

<math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math>

<math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math>

где <math>H_i\ </math> — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой <math>\ r=0</math>:

<math> \Delta f

= {1 \over r} {\partial \over \partial r}

 \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 

+ {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} </math>

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

<math> \Delta f

= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}

 \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 

+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}

 \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 

+ {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} </math>

или

<math> \Delta f

= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}

 \left( rf \right) 

+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}

 \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 

+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}. </math>

В случае если <math>\ f=f(r)</math> в n-мерном пространстве:

<math> \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math>

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

<math>

\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} </math>

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

<math>\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.</math>

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии <math>X</math> задана локальная система координат и <math>g_{ij}</math> — риманов метрический тензор на <math>X</math>, то есть метрика имеет вид

<math>ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j</math> .

Обозначим через <math>g^{ij}</math> элементы матрицы <math>(g_{ij})^{-1}</math> и

<math>g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}</math>.

Дивергенция векторного поля <math>F</math>, заданного координатами <math>F^i</math> (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка <math>\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}</math>) на многообразии X вычисляется по формуле

<math>\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)</math>,

а компоненты градиента функции f — по формуле

<math>(\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.</math>

Оператор Лапласа — Бельтрами на <math>X</math>:

<math>\Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).</math>

Значение <math>\Delta f</math> является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации

• Оператор Д’Аламбера — обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений. Включает в себя вторую производную по времени.
• Векторный оператор Лапласа — обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.

См. также

• Оператор набла
• Оператор Д’Аламбера
• Уравнение Лапласа
• Гармоническая функция
• Матрица Кирхгофа
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.

Ссылки

• MathWorld description of Laplacian Шаблон:Wayback