Русская Википедия:Оператор набла

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Опера́тор на́бла — векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Обозначается символом ∇ (набла).

Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат оператор набла определяется следующим образом:

<math>\nabla={\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k}</math>,

где <math>\vec i, \vec j, \vec k</math> — единичные векторы по осям <math>x, y, z</math> соответственно.

Также используется следующая запись оператора набла через компоненты:

<math>\nabla= \left\{ {\partial\over\partial x}, {\partial\over\partial y}, {\partial\over\partial z} \right\}</math>.

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ <math>\nabla</math> используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далёких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).

Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор в n-мерном пространстве следующего вида:

<math>\nabla={\partial\over\partial x_1}\vec{e}_1+{\partial\over\partial x_2}\vec{e}_2+...+{\partial\over\partial x_n}\vec{e}_n</math>,

где <math>\vec{e}_1, \vec{e}_2, ..., \vec{e}_n</math> — единичные векторы по осям <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> соответственно.

Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: <math>\vec \nabla</math> — чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного <math>\nabla</math>.

• Иногда (особенно когда речь идёт только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.

• Замечание: в физике в наше время название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.

Свойства оператора набла

Этот оператор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если скалярно умножить вектор <math>\nabla</math> на функцию <math>\phi</math>, то получится вектор

<math>\nabla\phi={\partial\phi\over\partial x}\vec{i}+{\partial\phi\over\partial y}\vec{j}+{\partial\phi\over\partial z}\vec{k} = \mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi</math>,

который представляет собой градиент функции <math>\phi</math>.

Если вектор <math>\nabla</math> скалярно умножить на вектор <math>\vec{a}</math>, получится скаляр

<math>\nabla\cdot\vec{a} = \nabla_xa_x+\nabla_ya_y+\nabla_za_z={\partial a_x\over\partial x}+{\partial a_y\over\partial y}+{\partial a_z\over\partial z} = \mathbf{\operatorname{div}}\,\vec a</math>,

то есть дивергенция вектора <math>\vec{a}</math>.

Если <math>\nabla</math> умножить на <math>\vec{a}</math> векторно, то получится ротор вектора <math>\vec{a}</math>:

<math>\nabla \times \vec a = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ {\partial\over\partial x} & {\partial\over\partial y} & {\partial\over\partial z} \\ a_x & a_y & a_z\end{vmatrix} = \left( {\partial{a_z}\over\partial y} - {\partial{a_y}\over\partial z} \right)\vec{i} \ + \ \left( {\partial{a_x}\over\partial z} - {\partial{a_z}\over\partial x} \right)\vec{j} \ + \ \left( {\partial{a_y}\over\partial x} - {\partial{a_x}\over\partial y} \right)\vec{k} = \mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec a</math>

• Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо <math>\nabla \cdot \vec a</math> нередко пишут <math>(\nabla, \vec a)</math>, а вместо <math>\nabla \times \vec a</math> пишут <math>[\nabla,\vec a]</math>; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение <math>\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math> есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также <math>\ \Delta</math>. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

<math>\Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}</math>.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

<math>\mathbf{\operatorname{grad}}(\phi\psi)=\mathbf{\nabla}(\phi\psi)=\psi\mathbf{\nabla}\phi+\phi\mathbf{\nabla}\psi=\psi\,

\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi+\phi \, \mathbf{\operatorname{grad}}\,\psi</math>

<math>\operatorname{div}(\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi)=\nabla\cdot(\nabla\phi)=(\nabla\cdot\nabla)\phi=\nabla^2\phi = \Delta\phi</math>

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

<math>\nabla \cdot \vec v = \stackrel{\downarrow}{\vec v} \cdot \nabla</math>

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

<math>\mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \cdot (\nabla f)</math>

<math>\mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \times (\nabla f)</math>

<math>\Delta f = \nabla^2 f</math>

<math>\mathbf{\operatorname{grad}}\,(\mathbf{\operatorname{div}}\, \vec v ) = \nabla (\nabla \cdot \vec v)</math>

<math>\mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec v)</math>

<math>\mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \times (\nabla \times \vec v)</math>

<math>\Delta \vec v = \nabla^2 \vec v</math>

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

<math>\mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \times (\nabla f) = (\nabla \times \nabla) f = 0</math>

<math>\mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{v}) = (\nabla \times \nabla) \cdot \vec{v} = 0</math>

Два всегда совпадают:

<math> \mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \cdot(\nabla f) = (\nabla \cdot \nabla) f = \nabla^2 f = \Delta f </math>

Три оставшихся связаны соотношением:

<math>\nabla \times ( \nabla \times \vec{v} ) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}</math>

Ещё одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

<math>\nabla ( \nabla \cdot \vec{v} ) = \nabla \cdot (\nabla \otimes \vec{v})</math>

Отличия оператора набла от обычного вектора

Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Оператор набла не принадлежит тому же пространству, что и обычные векторы, а говоря точнее, скалярное и векторное произведение для него определено с некоторыми отличиями (в основном сводящимися к тому, что — как это обычно подразумевается — оператор действует на те поля, что стоят от него справа, и не действует на стоящие от него слева, из-за чего скалярное и векторное произведение с участием <math>\nabla</math> не коммутативны и не антикоммутативны, как это свойственно для таких произведений обычных векторов), таким образом, оператор набла не обладает некоторыми свойствами обычных векторов, и следовательно не во всём может вести себя в соответствии с геометрическими свойствами обычного вектора. В частности,

он не коммутирует с векторами:

<math>\nabla \cdot \vec v \ne \vec v \cdot \nabla</math>,

ведь <math>\nabla \cdot \vec v</math> — это дивергенция, то есть в конечном итоге просто скалярная функция координат, а <math>\vec v \cdot \nabla</math> представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля <math>\vec {v}</math>.

Можно дополнительно убедиться в том, что они не совпадают, применив оба выражения к скалярной функции f:

<math>(\nabla \cdot \vec v) f \ne (\vec v \cdot \nabla) f</math>

так как

<math>(\nabla \cdot \vec v) f = \left( \frac{\part v_x}{\part x}+\frac{\part v_y}{\part y}+\frac{\part v_z}{\part z} \right)f = \frac{\part v_x}{\part x}f+\frac{\part v_y}{\part y}f+\frac{\part v_z}{\part z}f </math>

<math>(\vec v \cdot \nabla) f = \left( v_x \frac{\part}{\part x}+v_y \frac{\part}{\part y}+v_z \frac{\part}{\part z} \right) f = v_x \frac{\part f}{\part x}+v_y \frac{\part f}{\part y}+v_z \frac{\part f}{\part z} </math>

Если бы набла был вектором, то смешанное произведение <math>(\vec v,\ \nabla,\ \vec v) \equiv \vec v \cdot (\nabla \times \vec v)</math> было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.

Кроме того, необходимо помнить, на какие векторы и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле, например:

<math>(\nabla x) \times (\nabla y) = \left( \vec i \, \frac{\part x}{\part x}+\vec j \, \frac{\part x}{\part y}+\vec k \, \frac{\part x}{\part z} \right) \times \left( \vec i \, \frac{\part y}{\part x}+\vec j \, \frac{\part y}{\part y}+\vec k \, \frac{\part y}{\part z} \right) = </math>

<math> = (\vec i \cdot 1 +\vec j \cdot 0+\vec k \cdot 0) \times (\vec i \cdot 0+\vec j \cdot 1+\vec k \cdot 0) = \vec i \times \vec j = \vec {k}</math>

(здесь первый оператор набла действует только на поле <math>x</math>, а второй — только на поле <math>y</math>, что как бы жёстко фиксирует порядок действий). Тогда как для обычных векторов:

<math>(\vec u x )\times (\vec u y) = x y (\vec u \times \vec u) = x y \vec 0 = \vec {0}</math>

поскольку здесь <math>x</math> и <math>y</math> легко выносятся.

Поэтому для удобства, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой:

<math>(\nabla , [\vec u, \vec v]) =

(\nabla , [\stackrel{\downarrow}{\vec u}, \vec v]) + (\nabla , [\vec u, \stackrel{\downarrow}{\vec v}]) = (\vec v , [\nabla , \stackrel{\downarrow}{\vec u}]) - (\vec u , [\nabla , \stackrel{\downarrow}{\vec v}]) = \vec v \cdot \mbox{rot} \, \vec u - \vec u \cdot \mbox{rot} \, \vec v</math>

Если оператор не действует на некоторое поле, то вектор поля и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют). Векторы в смешанных произведениях примера вынесены влево от оператора и конечное выражение записано без стрелочек.

История

В 1853 году В. Р. Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ <math>\nabla</math> в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах П. Г. Тэта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот), однако позднее английские учёные, в том числе О. Хевисайд, стали называть этот символ «на́бла» из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента наблы, а оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла.

Согласно некоторым источникам, <math>\nabla</math> — буква финикийского алфавита, происхождение которой связано с музыкальным инструментом типа арфы, так как «ναβλα» (набла) на древнегреческом означает «арфа». Наблий — разновидность арфы.

Примеры

1. <math>f = xy,\,\, \nabla f = {\partial f\over\partial x}\vec{i}+{\partial f\over\partial y}\vec{j} = y\vec{i} + x\vec{j} </math>
2. <math>f = 30yx^3,\,\, \nabla f = {\partial f\over\partial x}\vec{i}+{\partial f\over\partial y}\vec{j} = 90yx^2\vec{i} + 30x^3\vec{j}</math>

См. также

• Оператор Д’Аламбера
• Дифференциальные операторы в различных системах координат