Русская Википедия:Оператор углового момента

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Квантовая механика Опера́тор углово́го моме́нта — один из нескольких операторов в квантовой механике, выступающих аналогом классическому угловому моменту. Оператор углового момента играет центральную роль в атомной теории, молекулярной физике и других связанных с вращательной симметрией квантовых задачах. Этот оператор применяется для математического представления физического состояния системы и задаёт значение углового момента, если состояние имеет для него определённое значение. Как в классической, так и в квантовой механике угловой момент (вместе с линейным импульсом и энергией) является одним из трёх фундаментальных свойств движения[1].

Существует несколько операторов углового момента: полный угловой момент (обычно обозначается как J), орбитальный угловой момент (обычно обозначается как L) и спиновый угловой момент (для краткости спин, но обычно обозначается как S). Термин оператор углового момента может относиться либо к полному, либо к орбитальному угловому моменту. Полный угловой момент всегда сохраняется согласно теореме Нётер.

Обзор

Файл:LS coupling (corrected).png
«Векторные конусы» полного углового момента J (зелёный), орбитального L (синий) и спина S (красный). Конусы возникают из-за квантовой неопределённости между измеряемыми компонентами углового момента.

В квантовой механике угловой момент может относиться к одной из трёх связанных между собой величин.

Орбитальный угловой момент

Классическое определение углового момента: <math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\,.</math> Квантово-механические аналоги этого определения имеют те же отношения

<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\,,</math>

где r — квантовый оператор положения, p — квантовый оператор импульса, × обозначает векторное произведение, а L — оператор орбитального углового момента. L (точно так же, как p и r) является векторным оператором (вектором, компоненты которого являются операторами), то есть <math>\mathbf{L} = \left(L_x, L_y, L_z\right)\,,</math> где Lx, Ly, Lz — три различных квантово-механических оператора.

В частном случае одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор орбитального углового момента можно записать в координатном базисе в виде

<math>\mathbf{L} = -i\hbar(\mathbf{r} \times \nabla)\,,</math>

где Шаблон:Math — векторный дифференциальный оператор набла.

Спиновый угловой момент

Существует ещё один тип углового момента, называемый спиновым угловым моментом (чаще сокращается до спина), представленный спиновым оператором <math>\mathbf{S} = \left(S_x, S_y, S_z\right)\,.</math> Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это лишь метафора: ближайший классический аналог основан на циркуляции энергии в электронной волне[2]. Все элементарные частицы имеют характерный спин (скалярные бозоны имеют нулевой спин). Например, электроны всегда имеют «спин 1/2», а фотоны всегда имеют «спин 1» (ниже).

Полный угловой момент

Наконец, можно ввести полный угловой момент <math>\mathbf{J} = \left(J_x, J_y, J_z\right)\,,</math> который объединяет как спиновый, так и орбитальный угловые моменты частицы или системы

<math>\mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}.</math>

Сохранение углового момента утверждает, что J для замкнутой системы или J для всей Вселенной сохраняется. Однако вклады L и S обычно не сохраняются. Например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться между L и S, сохраняя общее значение J постоянным.

Коммутационные соотношения

Коммутационные соотношения между компонентами

Оператор орбитального углового момента является векторным оператором, что означает, что его можно записать в терминах его векторных компонентов. <math>\mathbf{L} = \left(L_x, L_y, L_z\right)\,.</math> Компоненты подчиняются между собой следующим коммутационным соотношениям[3]

<math>\left[L_x, L_y\right] = i\hbar L_z \,, \,\left[L_y, L_z\right] = i\hbar L_x \,, \,\left[L_z, L_x\right] = i\hbar L_y\,,</math>где Шаблон:Math обозначает коммутатор.
<math>[X, Y] \equiv XY - YX\,.</math>

В общем случае это можно записать как

<math>\left[L_l, L_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} L_n\,,</math>где l, m, n — индексы компонент (1 для x, 2 для y, 3 для z), а Шаблон:Math обозначает символ Леви-Чивиты.

Также возможно компактное выражение в виде одного векторного уравнения[4]

<math>\mathbf{L} \times \mathbf{L} = i\hbar \mathbf{L}\,.</math>

Коммутационные соотношения можно доказать используя прямое следствие канонических коммутационных соотношений <math>[x_l,p_m] = i \hbar \delta_{lm}\,,</math> где Шаблон:Math — дельта Кронекера.

Аналогичное соотношение существует и в классической физике[5]

<math>\left\{L_i, L_j\right\} = \varepsilon_{ijk} L_k\,,</math>

где Ln — компонента классического оператора углового момента, а <math>\{ ,\}</math> обозначает скобку Пуассона.

Те же коммутационные соотношения применяются для других операторов углового момента (спина и полного углового момента)[6]

<math>\left[S_l, S_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} S_n, \quad \left[J_l, J_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} J_n \,.</math>

Можно предположить, что они выполняются по аналогии с L. В качестве альтернативы они могут быть получены, как описано ниже.

Эти коммутационные соотношения означают, что L имеет математическую структуру алгебры Ли, а Шаблон:Math являются её структурными константами. В этом случае алгеброй Ли является SU (2) или SO (3) в физических обозначениях (<math>\operatorname{su}(2)</math> или <math>\operatorname{so}(3)</math> соответственно в математической нотации), то есть алгебра Ли, связанная с вращениями в трёх измерениях. То же самое верно для J и S. Причина обсуждается ниже. Эти коммутационные соотношения относятся к измерению и неопределённости, как обсуждается далее.

В молекулах полный угловой момент F представляет собой сумму ровибронного (колебательно-вращательного) углового момента N, спинового момента электрона S и ядерного спинового момента I. Для электронных синглетных состояний ровибронный угловой момент обозначается J, а не N. Как доказал Ван Флек[7], компоненты молекулярного ровибронного углового момента, относящиеся к неподвижным осям молекулы, имеют коммутационные соотношения, отличные от приведённых выше, которые относятся к компонентам, связанным с осями, закреплёнными в пространстве.

Коммутационные соотношения, включающие векторную величину

Как и любой вектор, квадрат величины можно определить для оператора орбитального углового момента

<math>L^2 \equiv L_x^2 + L_y^2 + L_z^2\,.</math><math>L^2</math>

 — ещё один квантовый оператор. Он коммутирует с компонентами <math>\mathbf{L}\,,</math>

<math>\left[L^2, L_x\right] = \left[L^2, L_y\right] = \left[L^2, L_z\right] = 0\,.</math>

Один из способов доказать, что эти операторы коммутируют, состоит в том, чтобы начать с коммутационных соотношений [ Lℓ, Lm ] в предыдущем разделе:

Шаблон:Hider  

Математически, <math>L^2</math> является инвариантом Казимира алгебры Ли SO(3), натянутой на <math>\mathbf{L}</math>.

Как и выше, аналогичное соотношение выполняется в классической физике

<math>\left\{L^2, L_x\right\} = \left\{L^2, L_y\right\} = \left\{L^2, L_z\right\} = 0\,,</math>

где <math>L_i</math> — компонента классического оператора углового момента, и <math>\{ ,\}</math> обозначает скобку Пуассона[8].

В квантовом случае, те же коммутационные соотношения применимы и к другим операторам углового момента (спиновому и полному угловым моментам)

<math>\begin{align}
\left[ S^2, S_i \right] &= 0\,, \\
\left[ J^2, J_i \right] &= 0\,.

\end{align}</math>

Принцип неопределённости

В квантовой механике, когда две наблюдаемые не коммутируют, их называют дополнительными наблюдаемыми. Две взаимодополняющие наблюдаемые не могут быть измерены одновременно; вместо этого они удовлетворяют принципу неопределённости. Чем точнее известна одна наблюдаемая, тем менее точно может быть определена другая в тот же момент времени. Точно так же, как существует принцип неопределённости, касающийся координаты и импульса, существуют принципы неопределённости для компонент углового момента.

Соотношение Робертсона — Шредингера даёт следующий принцип неопределённости

<math>\sigma_{L_x} \sigma_{L_y} \geq \frac{\hbar}{2} \left| \langle L_z \rangle \right|\,,</math>

где <math>\sigma_X</math> — стандартное отклонение измеренных значений X и <math>\langle X \rangle</math> обозначает ожидаемая величина для X. Это неравенство также верно, если x, y, z переставить местами или если L заменить на J или S.

Следовательно, две ортогональные составляющие углового момента (например, Lx и Ly) являются дополнительными и не могут быть одновременно известны или измерены, за исключением особых случаев, таких как <math>L_x = L_y = L_z = 0\,.</math>

Однако возможно одновременное измерение или определение оператора L2 и любой компоненты L; например, L2 и Lz, что часто бывает полезно. Их значения характеризуются азимутальным квантовым числом (l) и магнитным квантовым числом (m). В этом случае квантовое состояние системы является одновременным собственным состоянием операторов L2 и Lz, но не Lx или Ly. Собственные значения связаны с l и m, как показано в таблице ниже.

Квантование

В квантовой механике угловой момент квантуется — то есть он не может принимать производные значения, а только дискретные между определёнными допустимыми значениями. Для любой системы действуют следующие ограничения на результаты измерений, где <math>\hbar</math> приведённая постоянная Планка[9]:

Измеримая величина… Принимаемые значения Примечания
<math>L^2</math> <math>\hbar^2 \ell (\ell + 1)</math>, 
где <math>\ell = 0, 1, 2, \ldots</math>
<math>\ell</math> называют азимутальным квантовым числом или орбитальным квантовым числом.
<math>L_z</math> <math>\hbar m_\ell</math>, 
где <math>m_\ell = -\ell, (-\ell + 1), \ldots, (\ell - 1), \ell</math>
<math>m_\ell</math> называют магнитным квантовым числом.

Это же правило квантования справедливо для любого компонента <math>\mathbf{L}</math>; например, <math> L_x \,or\, L_y</math>.

Это правило иногда называют «пространственным квантованием».

<math>S^2</math> <math>\hbar^2 s(s + 1)</math>, 
где <math>s = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots</math>
sназывается спиновым квантовым числом или просто спином.

Например, частице со спином 1/2 соответствует s = Шаблон:1/2.

<math>S_z</math> <math>\hbar m_s</math>, 
где <math>m_s = -s, (-s + 1), \ldots, (s - 1), s</math>
<math>m_s</math> иногда называют «квантовым числом проекции спина».

Это же правило квантования справедливо для любого компонента <math>\mathbf{S}</math>; например, <math> S_x \,or\, S_y</math>.

<math>J^2</math> <math>\hbar^2 j(j + 1)</math>, 
где <math>j = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots</math>
j называют квантовым числом полного углового момента.
<math>J_z</math> <math>\hbar m_j</math>, 
где <math>m_j = -j, (-j + 1), \ldots, (j - 1), j</math>
<math>m_j</math> называют квантовым числом проекции полного углового момента.

Это же правило квантования справедливо для любого компонента <math>\mathbf{J}</math>; например, <math> J_x \,or\, J_y</math>.

Файл:Circular Standing Wave.gif
В этой стоячей волне на круглой струне окружность разбита ровно на 8 длин волн. Подобная стоячая волна может иметь 0, 1, 2 или любое целое число длин волн распределённых по окружности, но не может иметь нецелое число длин волн, например 8,3. В квантовой механике угловой момент квантуется по той же причине.

Вывод с использованием лестничных операторов

Для вывода правил квантования, описанных выше, распространённым способом является метод лестничных операторов[10]. Лестничные операторы для полного углового момента <math>\mathbf{J} = \left(J_x, J_y, J_z\right)</math> определяются как

<math>\begin{align}
J_+ &\equiv J_x + i J_y\,, \\
J_- &\equiv J_x - i J_y\,.

\end{align}</math> Предполагая, что <math>|\psi\rangle</math> является одновременным собственным состоянием операторов <math>J^2</math> и <math>J_z</math> (то есть состоянием с определённым значением <math>J^2</math> и определённое значением <math>J_z</math>). Тогда, используя коммутационные соотношения для компонент <math>\mathbf{J}</math>, можно доказать, что каждое из состояний <math>J_+ |\psi\rangle</math> и <math>J_-|\psi\rangle</math> является либо нулём, либо одновременным собственным состоянием <math>J^2</math> и <math>J_z</math>, с тем же значением, что и <math>|\psi\rangle</math> для <math>J^2</math>, но со значениями для <math>J_z</math>, которые увеличиваются или уменьшаются на <math>\hbar</math> соответственно. Результат равен нулю, если в противном случае использование лестничного оператора привело бы к состоянию со значением для <math>J_z</math>, то есть вне допустимого диапазона значений. Таким образом, используя лестничные операторы, можно найти возможные значения и квантовые числа для операторов <math>J^2</math> и <math>J_z</math>.   Шаблон:Hider</math> вокруг оси <math>\hat{n}</math> определяется как[6]

<math>J_\hat{n} \equiv i\hbar \lim_{\phi \rightarrow 0} \frac{R\left(\hat{n}, \phi\right) - 1}{\phi} = \left. i\hbar \frac{\partial R\left(\hat{n}, \phi\right)}{\partial\phi} \right|_{\phi = 0}\,,</math>

где 1 — тождественный оператор. Здесь R является аддитивным морфизмом: <math>R\left(\hat{n}, \phi_1 + \phi_2\right) = R\left(\hat{n}, \phi_1\right)R\left(\hat{n}, \phi_2\right)</math>; как следствие[6]

<math>R\left(\hat{n}, \phi\right) = \exp\left(-\frac{i \phi J_\hat{n}}{\hbar}\right)\,,</math>

где exp — матричная экспонента.

Оператор полного углового момента характеризует, как квантовая система изменяется при её вращении. Связь между операторами углового момента и операторами вращения такая же, как связь между алгебрами Ли и группами Ли в математике, как обсуждается ниже.

Файл:RotationOperators.svg
Различные типы операторов вращения . Верхний прямоугольник показывает две частицы со спиновыми состояниями, схематически обозначенными стрелками. Шаблон:Ordered list

Точно так же, как J является генератором для операторов вращения, L и S являются генераторами для модифицированных операторов частичного вращения. Оператор

<math>R_\text{spatial}\left(\hat{n}, \phi\right) = \exp\left(-\frac{i \phi L_\hat{n}}{\hbar}\right)</math>

вращает положение (в координатном пространстве) всех частиц и полей, не вращая внутреннее (спиновое) состояние какой-либо частицы. Аналогично, оператор

<math>R_\text{internal}\left(\hat{n}, \phi\right) = \exp\left(-\frac{i \phi S_\hat{n}}{\hbar}\right)</math>

вращает внутреннее (спиновое) состояние всех частиц, не изменяя положение частиц или полей в пространстве. Соотношение J = L + S следует из

<math>R\left(\hat{n}, \phi\right) = R_\text{internal}\left(\hat{n}, \phi\right) R_\text{spatial}\left(\hat{n}, \phi\right)\,,</math>

то есть если координатная система повернута, а затем повёрнуты внутренние состояния, то в целом вся система также повёрнута.

SU(2), SO(3) и повороты на 360°

Хотя можно было бы ожидать <math>R\left(\hat{n}, 360^\circ\right) = 1</math> (поворот на 360° является тождественным оператором), это не предполагается в квантовой механике, и оказывается, что это часто неверно: когда квантовое число полного углового момента является полуцелым (1/2, 3/2, и так далее), <math>R\left(\hat{n}, 360^\circ\right) = -1</math>, а когда это целое число, <math>R\left(\hat{n}, 360^\circ\right) = +1</math>[6]. Математически структура вращений во Вселенной не является SO(3) группой трёхмерных вращений в классической механике. Вместо этого это SU(2), которая идентична SO(3) для небольших поворотов, но где поворот на 360° математически отличается от поворота на 0°. Поворот на 720° аналогичен повороту на 0°[6].

С другой стороны, <math>R_\text{spatial}\left(\hat{n}, 360^\circ\right) = +1</math> при любых обстоятельствах, потому что вращение пространственной конфигурации на 360° равносильно полному отсутствию вращения. Это отличается от вращения на 360° внутреннего (спинового) состояния частицы, которое может быть, а может и не совпадать с полным отсутствием вращения. Другими словами, <math>R_\text{spatial}</math> операторы имеют структуру SO(3), а <math>R</math> и <math>R_\text{internal}</math> несут структуру SU(2).

Из уравнения <math>+1 = R_\text{spatial}\left(\hat{z}, 360^\circ\right) = \exp\left(-2\pi i L_z / \hbar\right)</math>, можно выбрать собственное состояние <math>L_z |\psi\rangle = m\hbar |\psi\rangle</math> и соответственно

<math>e^{-2\pi i m} = 1\,,</math>

то есть квантовые числа орбитального углового момента могут принимать только целые, а не полуцелые значения.

Связь с теорией представлений

Начиная с определённого квантового состояния <math>|\psi_0\rangle</math>, рассмотрим множество состояний <math>R\left(\hat{n}, \phi\right) \left|\psi_0\right\rangle</math> для всех возможных <math>\hat{n}</math> и <math>\phi</math>, то есть множество состояний, возникающих при вращении начального состояния всеми возможными способами. Линейные комбинации этого набора задают собой векторное пространство, и поэтому способ, которым операторы вращения отображают одно состояние в другое, является представлением группы операторов вращения.

Когда операторы вращения действуют на квантовые состояния, они формируют представление группы Ли SU (2) (для R и Rinternal) или SO (3) (для Rspatial).

Из связи между J и операторами вращения

Когда операторы углового момента действуют на квантовые состояния, они образуют представление алгебры Ли. <math>\mathfrak{su}(2)</math> или <math>\mathfrak{so}(3)</math>.

Алгебры Ли групп SU(2) и SO(3) идентичны.

Приведённый выше вывод на основе лестничных операторов — это метод классификации представлений алгебры Ли SU(2).

Связь с коммутационными соотношениями

Классические повороты не коммутируют друг с другом: например, поворот на 1° вокруг оси x, а затем на 1° вокруг оси y даёт несколько иной общий поворот, чем поворот на 1° вокруг оси y, а затем на 1° вокруг оси x. Тщательно анализируя эту некоммутативность, можно вывести коммутационные соотношения для операторов углового момента[6].

Сохранение углового момента

Гамильтониан H представляет собой энергию системы и определяет её динамику. В сферически-симметричной ситуации гамильтониан инвариантен относительно вращений

<math>RHR^{-1} = H\,,</math>

где R — оператор вращения. Как следствие, <math>[H, R] = 0</math>, а потом <math>[H,\mathbf{J}]=\mathbf 0</math> из-за соотношения между операторами J и R. По теореме Эренфеста следует, что J сохраняется.

Подводя итог, если H вращательно-инвариантен (сферически симметричен), то полный угловой момент J сохраняется, что следует из теоремы Нётер.

Если H является просто гамильтонианом для одной частицы, полный угловой момент этой частицы сохраняется, когда частица находится в центральном потенциале (то есть когда функция потенциальной энергии зависит только от <math>\left|\mathbf{r}\right|</math>). В качестве альтернативы H может быть гамильтонианом всех частиц и полей во Вселенной, и тогда H всегда вращательно-инвариантен, поскольку фундаментальные законы физики Вселенной одинаковы независимо от ориентации. Это является основанием для того, чтобы сказать, что сохранение углового момента является общим принципом физики.

Для частицы без спина J = L, поэтому орбитальный угловой момент сохраняется при тех же обстоятельствах. Когда спин отличен от нуля, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться от L к S и обратно. Следовательно, L сам по себе не сохраняется.

Взаимодействие угловых моментов

Часто два или более видов углового момента взаимодействуют друг с другом, так что угловой момент может передаваться от одного к другому. Например, при спин-орбитальном взаимодействии угловой момент может передаваться между L и S, но сохраняется только полный угловой момент J = L + S. В другом примере в атоме с двумя электронами каждый имеет свой угловой момент J1 и J2, но сохраняется только суммарный угловой момент J = J1 + J2.

В таких ситуациях часто бывает полезно знать взаимосвязь, с одной стороны, между состояниями, в которых <math>\left(J_1\right)_z, \left(J_1\right)^2, \left(J_2\right)_z, \left(J_2\right)^2</math> имеют определённые значения, а с другой стороны, состояниями, в которых <math>\left(J_1\right)^2, \left(J_2\right)^2, J^2, J_z</math> имеют определённые значения, так как последние четыре обычно сохраняются (константы движения). Процедура перехода между этими базисами заключается в использовании коэффициентов Клебша — Гордана.

Из них следует одним из важных результатов, что связь между квантовыми числами для <math>\left(J_1\right)^2, \left(J_2\right)^2, J^2</math> задаётся в виде

<math>j \in \left\{ \left|j_1 - j_2\right|, \left(\left|j_1 - j_2\right| + 1\right), \ldots, \left(j_1 + j_2\right) \right\}\,.</math>

Для атома или молекулы с J = L + S спектральный терм даёт квантовые числа, связанные с операторами <math>L^2, S^2, J^2</math>.

Орбитальный угловой момент в сферических координатах

Операторы углового момента обычно возникают при решении задачи со сферической симметрией в сферических координатах. Угловой момент в пространственном представлении равен[11][12]

<math>\begin{align}
\mathbf L &= i \hbar \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\theta}}}{\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\phi} - \hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{\partial}{\partial\theta}\right) \\
     &= i\hbar\left(
        \hat{\mathbf{x}} \left(\sin(\phi) \frac{\partial}{\partial\theta} + \cot(\theta)\cos(\phi) \frac{\partial}{\partial\phi}
       \right)
        + \hat{\mathbf{y}} \left(-\cos(\phi)\frac{\partial}{\partial\theta} + \cot(\theta)\sin(\phi) \frac{\partial}{\partial\phi}\right)
        - \hat{\mathbf z} \frac{\partial}{\partial\phi}
       \right) \\
   L_+ &= \hbar e^{i\phi} \left( \frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot(\theta) \frac{\partial}{\partial\phi} \right), \\
   L_- &= \hbar e^{-i\phi} \left( -\frac{\partial}{\partial \theta} + i\cot(\theta) \frac{\partial}{\partial\phi} \right), \\
   L^2 &= -\hbar^2 \left(\frac{1}{\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin(\theta) \frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^2(\theta)}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right), \\
   L_z &= -i \hbar \frac{\partial}{\partial\phi}\,.

\end{align} </math> В сферических координатах угловую часть оператора Лапласа можно выразить угловым моментом. Это приводит к соотношению

<math>\Delta = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2\, \frac{\partial}{\partial r}\right) - \frac{L^2}{\hbar^{2} r^2}\,.</math>При решении найти собственные состояния оператора <math> L^{2} </math>, получается следующее выражение
<math>\begin{align}
L^2 | l, m \rangle &= \hbar^2 l(l + 1) | l, m \rangle \,, \\
L_z | l, m \rangle &= \hbar m | l, m \rangle\,,

\end{align}</math> где

<math>\left\langle \theta, \phi | l, m \right\rangle = Y_{l,m}(\theta, \phi)</math>- сферические гармоники[13].

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Нерабочие сноски

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, Шаблон:ISBN
  2. ↑ Шаблон:Cite journal
  3. ↑ Шаблон:Cite book
  4. ↑ Шаблон:Cite book
  5. ↑ H. Goldstein, C. P. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd Edition, Addison-Wesley 2002, pp. 388 ff.
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 Шаблон:Cite web
  7. ↑ Шаблон:Cite journal
  8. ↑ Goldstein et al, p. 410
  9. ↑ Шаблон:Cite book
  10. ↑ Шаблон:Cite book
  11. ↑ Шаблон:Cite book
  12. ↑ Compare and contrast with the contragredient classical L.
  13. ↑ Sakurai, JJ & Napolitano, J (2010), Modern Quantum Mechanics (2nd edition) (Pearson) Шаблон:ISBN
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Оператор_углового_момента&oldid=10518106