Русская Википедия:Оператор эволюции
Оператор эволюции (генератор эволюции во времени)— оператор в квантовой механике, заданный на гильбертовом пространстве, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой.
Связь оператора эволюции с оператором Гамильтона
Шаблон:Main Оператор эволюции связан с оператором Гамильтона следующими формулами:
где <math>T,\overline{T}</math> — операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени.
В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид: Шаблон:Equation box 1
Свойства оператора эволюции
1. <math> \hat S(t_2,t_1) </math>[1] — унитарный оператор.
2. <math> \hat S(t_3,t_2)\hat S(t_2,t_1)=\hat S(t_3,t_1),\forall\, t_1,t_2,t_3 </math>.
3. <math> \hat S(t,t_1)\hat S(t_1,t)=\hat I,\forall\, t_1,t </math>[2], где <math>\hat I </math> — единичный оператор.
Вывод соотношения между оператором эволюции и гамильтонианом
Согласно постулатам квантовой механики чистое состояние системы описывается вектором из гильбертова пространства <math>|\Psi\rangle</math>. Введём оператор <math> \hat S(t,t_0) </math>, который действует по правилу:
- <math> \hat S(t,t_0) \left| \Psi(t_0) \right\rangle =\left| \Psi(t) \right\rangle </math>.
Введённый оператор должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени. В представлении Шрёдингера вектор состояния удовлетворяет уравнению Шрёдингера:
- <math> \hat H(t) \left| \Psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial \over \partial t} \left| \Psi (t) \right\rangle,</math>
где <math>\hat H(t)</math> — оператор Гамильтона.
Если гамильтониан не зависит от времени, то <math> \left| \Psi (t) \right\rangle= e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar} \left| \Psi (t_0) \right\rangle </math> — является решением уравнения Шрёдингера. Отсюда следует, что оператор эволюции имеет вид:
- <math> \hat S(t,t_0)=e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar} </math>.
Теперь пусть оператор Гамильтона зависит от времени и пусть <math>t_0<t</math>. Тогда разобьём рассматриваемый промежуток времени на интервалы <math>(t_n,t_{n+1})</math> и будем считать, что в каждом из этих интервалов оператор Гамильтона постоянен <math> \hat H(t)=\hat H(t_n)</math>, при <math> t_n<t\leq t_{n+1} </math>. Тогда в любой момент времени, согласно предыдущим рассуждениям, вектор состояния имеет вид:
- <math> \left| \Psi (t) \right\rangle =e^{-i\hat H(t_n)(t-t_n)/\hbar} \left| \Psi (t_n) \right\rangle =e^{-i\hat H(t_n)(t-t_n)/\hbar}\dots e^{-i\hat H(t_1)(t_2-t_1)/\hbar}e^{-i\hat H(t_0)(t_1-t_0)/\hbar} \left| \Psi (t_0) \right\rangle </math>.
Теперь введём оператор упорядочивания по времени <math>T</math>, который действует по следующему правилу:
- <math>T\{ \hat H (t_{P(m)}) \hat H(t_{P(m-1)})\dots \hat H_{P(1)} \}=\hat H(t_m)\hat H(t_{m-1})\dots\hat H(t_1)</math>
при <math>t_1\leq t_2\le\dots\le t_{m}</math>, для любой перестановки <math>P(1,2\dots,m)</math>.
С учётом этого волновую функцию можно написать в виде:
- <math> \left| \Psi (t) \right\rangle =T\left\{ e^{-i\hat H(t_n)(t-t_n)/\hbar}\dots e^{-i\hat H(t_1)(t_2-t_1)/\hbar}e^{-i\hat H(t_0)(t_1-t_0)/\hbar} \right\} \left| \Psi (t_0) \right\rangle </math>.
Для коммутирующих операторов <math>\hat A,\hat B</math> справедливо, что <math>e^{\hat A}e^{\hat B}=e^{\hat A+\hat B}</math>. Так как операторы под знаком T-упорядочивания коммутируют, то последнее переписывается в виде:
- <math> \left| \Psi (t) \right\rangle =T\Big\{ e^{-i\sum\limits_{i=0}^{n}\hat H( t_i)\Delta t_i/\hbar} \Big\} \left| \Psi (t_0) \right\rangle</math>.
При <math>n\rightarrow\infty</math> получаем, что
- <math> \left| \Psi (t) \right\rangle =T\Big\{ e^{-i\int\limits_{t_0}^{t}\hat H( t') dt'/\hbar} \Big\} \left| \Psi (t_0) \right\rangle </math>.
Поэтому
- <math> \hat S(t,t_0)=T\left\{ \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t H(t')\, dt'}\right) \right\}, t > t_0 </math>.
Теперь рассмотрим оператор <math> \hat S(t,t_0) </math> при <math>t<t_0</math>. Это то же самое, если рассмотреть <math> \hat S(t_0,t) </math> при <math>t_0<t</math>. Воспользуемся тем, что <math>\hat S(t_0,t)\hat S(t,t_0)=\hat I </math>,
где <math>\hat I</math> — единичный оператор.
Тогда:
- <math>\lim_{n\rightarrow 0}\hat S(t_0,t)e^{-i\hat H(t_n)(t-t_n)/\hbar}\dots e^{-i\hat H(t_1)(t_2-t_1)/\hbar}e^{-i\hat H(t_0)(t_1-t_0)/\hbar}=\hat I </math>
и непосредственной проверкой убеждаемся, что
- <math>\hat S(t_0,t)=\lim_{n\rightarrow 0}e^{i\hat H(t_0)(t-t_0)/\hbar}\dots e^{i\hat H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})/\hbar}e^{-i\hat H(t)(t-t_n)/\hbar} =\overline{T}\left\{ \exp\left({\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} H(t')\, dt'}\right) \right\}, t > t_0 </math>,
где <math>\overline{T}</math> — оператор анти-упорядочивания по времени.
Примечания
См. также
Литература
