Русская Википедия:Описанный четырёхугольник

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Tangential quadrilateral.svg
Пример описанного четырёхугольника

В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.

Все треугольники имеют вписанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, в который нельзя вписать окружность, может служить прямоугольник, не являющийся квадратом. Раздел «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы четырёхугольник был описанным.

Специальные случаи

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды, которые включают ромбы, которые, в свою очередь, включают квадраты. Дельтоиды — это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными Шаблон:Sfn. Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником, он называется Шаблон:Не переведено 5.

Свойства

Файл:Tangential quadrilateral - EF.svg
<math>BE+BF=DE+DF</math> или <math>AE-EC=AF-FC.</math>. Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружностиШаблон:Sfn.

Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:

<math>a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s.</math>

Обратно — четырёхугольник, в котором a + c = b + d, должен быть описанным. [1]Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющемся трапецией) пересекаются в точках E и F, то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда Шаблон:Sfn

<math>\displaystyle BE+BF=DE+DF</math>

или

<math>\displaystyle AE-EC=AF-FC.</math>

Второе равенство почти то же, что и равенство в Шаблон:Не переведено 5. Разница только в знаках — в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг другаШаблон:Sfn.

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD, принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда Шаблон:Sfn

<math>\tan{\frac{\angle ABD}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle BDC}{2}}=\tan{\frac{\angle ADB}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle DBC}{2}}.</math>

Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является описанным тогда и только тогда, когда

<math>R_aR_c=R_bR_d</math>,

где Ra, Rb, Rc, Rd являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны Шаблон:Sfn.

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Специальные отрезки

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Площадь

Нетригонометрические формулы

Площадь K касательного четырёхугольника задаётся формулой

<math>S = r \cdot p</math>,

где p — полупериметр и r — радиус вписанной окружности. Ещё одна формулаШаблон:Sfn

<math>S = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2}</math>,

дающая площадь в терминах диагоналей p, q и сторон a, b, c, d касательного четырёхугольника.

Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e, f, g, h, то касательный четырёхугольник имеет площадь Шаблон:Sfn

<math>S=\sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}.</math>

Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, hШаблон:Sfn

<math>S=\sqrt{abcd-(eg-fh)^2}.</math>

Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, Шаблон:Sfn получаем, что максимальная площадь <math>\sqrt{abcd}</math> может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.

Тригонометрические формулы

Тригонометрическая формула для площади в терминах сторон a, b, c, d и двух противоположных сторон Шаблон:SfnШаблон:Sfn[2][3]

<math>S = \sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}.</math>

Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным. В этом случае <math>S = \sqrt{abcd}</math>, поскольку противоположные углы являются дополнительными. Это можно доказать и другим способом, используя математический анализШаблон:Sfn.

Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD, использующая два противоположных угла[2]

<math>S=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin\frac{A+C}{2}</math>,

где O является центром вписанной окружности.

Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов Шаблон:Sfn

<math>S=ab\sin{\frac{B}{2}}\csc{\frac{D}{2}}\sin \frac{B+D}{2}.</math>

Есть ещё одна формулаШаблон:Sfn

<math>S=\tfrac{1}{2}|(ac-bd)\tan{\theta}|,</math>

где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.

Неравенства

Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a, b, c, d удовлетворяет неравенству

<math>S\le\sqrt{abcd}</math>

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является Шаблон:Не переведено 5.

Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр p описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству

<math>p\ge 4r</math>,

где r — радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом. [4] Это означает, что для площади S = pr, выполняется неравенство

<math>S\ge 4r^2</math>

с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник — квадрат.

Свойства частей четырёхугольника

Файл:Tangentenviereck.png
Описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r.

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида.

Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами, то эта линия проходит через инцентрШаблон:Sfn.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой Шаблон:Sfn

<math>r=\frac{S}{p}=\frac{S}{a+c}=\frac{S}{b+d}</math>,

где S — площадь четырёхугольника, а p — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным.

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

<math>\displaystyle r=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}.</math>

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD. Если u = AO, v = BO, x = CO и y = DO, то

<math>r=2\sqrt{\frac{(\sigma-uvx)(\sigma-vxy)(\sigma-xyu)(\sigma-yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}</math>,

где <math>\sigma=\tfrac{1}{2}(uvx+vxy+xyu+yuv)</math>Шаблон:Sfn.

Формулы для углов

Если e, f, g и h отрезки касательных от вершин A, B, C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD, то углы четырёхугольника можно вычислить по формуламШаблон:Sfn

<math> \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(e + f)(e + g)(e + h)}},</math>
<math> \sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(f + e)(f + g)(f + h)}},</math>
<math> \sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(g + e)(g + f)(g + h)}},</math>
<math> \sin{\frac{D}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(h + e)(h + f)(h + g)}}.</math>

Угол между хордами KM и LN задаётся формулойШаблон:Sfn(см. рисунок)

<math> \sin{\varphi}=\sqrt{\frac{(e + f + g + h)(efg + fgh + ghe + hef)}{(e + f)(f + g)(g + h)(h + e)}}.</math>

Диагонали

Если e, f, g и h являются отрезками касательных от A, B, C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD, то длины диагоналей p = AC и q = BD равныШаблон:Sfn

<math>\displaystyle p=\sqrt{\frac{e+g}{f+h}\Big((e+g)(f+h)+4fh\Big)},</math>
<math>\displaystyle q=\sqrt{\frac{f+h}{e+g}\Big((e+g)(f+h)+4eg\Big)}.</math>

Хорды точек касания

Если e, f, g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равныШаблон:Sfn

<math>\displaystyle k=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}},</math>
<math>\displaystyle l=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}},</math>

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h, а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e. Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению Шаблон:Sfn

<math>\frac{k^2}{l^2} = \frac{bd}{ac}.</math>

Две хорды

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DAШаблон:Sfn.

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P, то отношение отрезков касательных <math>\tfrac{BM}{DN}</math> равно отношению <math>\tfrac{BP}{DP}</math> отрезков диагонали BD.[5]

Коллинеарные точки

Файл:Tangential quadrilateral - QT.svg
Прямая Нагеля QO и ортоцентры HM, HN, HK, HL

Если M1 и M2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M3 — середина отрезка EF, тогда точки M3, M1, O, и M2 лежат на одной прямойШаблон:Sfn Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S, то четыре точки E, F, T и S лежат на одной прямойШаблон:Sfn

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N и L соответственно, и если TM, TK, TN, TL являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТM = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых TNTM и TKTL. Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q, "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO. Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольникаШаблон:Sfn.

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, в котором диагонали пересекаются в точке P, пусть HM, HK, HN, HL являются ортоцентрами треугольников AOB, BOC, COD и DOA соответственно. Тогда точки P, HM, HK, HN и HL лежат на одной прямой.[2]

Конкурентные и перпендикулярные прямые

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке).[3] Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона, которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение, имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках M, K, N, L соответственно, то прямые MK, LN и AC конкурентны.[2]

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а диагонали пересекаются в точке P, то прямая EF перпендикулярна продолжению OP, где O — центр вписанной окружностиШаблон:Sfn.

Свойства вписанной окружности

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих вершин[2]

<math>\frac{AB}{CD}=\frac{OA\cdot OB}{OC\cdot OD},\quad\quad \frac{BC}{DA}=\frac{OB\cdot OC}{OD\cdot OA}.</math>

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению[6]

<math>AB\cdot BC=OB^2+\frac{OA\cdot OB\cdot OC}{OD}.</math>

Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD, то[2]

<math>OA\cdot OC+OB\cdot OD=\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.</math>

Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда[2]

<math>OA\cdot OC=OB\cdot OD.</math>

Если M1 и M2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то[2][7]

<math>\frac{OM_1}{OM_2}=\frac{OA\cdot OC}{OB\cdot OD}=\frac{e+g}{f+h},</math>

где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центром вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

Если четырёхзвенный механизм выполнен в виде описанного четырёхугольника, четырёхугольник остаётся описанным независимо от его деформации, при условии, что четырёхугольник остаётся выпуклымШаблон:SfnШаблон:Sfn (Так, например, при деформации квадрата в ромб четырёхугольник остаётся описанным, хотя вписанная окружность будет меньшего размера). Если при деформации одна сторона зафиксирована, то при деформации четырёхугольника центр вписанной окружности движется по окружности радиуса <math>\sqrt{abcd}/s</math>, где a,b,c,d — стороны, а s — полупериметр.

Свойства четырёх внутренних треугольников

Файл:Chao tangentual quad radii.svg
Описание Чао и Симеонова (Chao, Simeonov) в терминах радиусов окружностей, вписанных в каждый из четырёх и треугольников

Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.

Пусть r1, r2, r3 и r4 означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когдаШаблон:Sfn

<math>\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}.</math>

Это свойство было доказано пятью годами ранее ВайнштейномШаблон:SfnШаблон:Sfn. В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через hM, hK, hN и hL обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда Шаблон:SfnШаблон:Sfn

<math>\frac{1}{h_M}+\frac{1}{h_N}=\frac{1}{h_K}+\frac{1}{h_L}.</math>

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей rM, rK, rN и rL для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда Шаблон:Sfn

<math>\frac{1}{r_M}+\frac{1}{r_N}=\frac{1}{r_K}+\frac{1}{r_L}.</math>

Если RM, RK, RN и RL — радиусы описанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно, то четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда Шаблон:Sfn

<math>R_M+R_N=R_K+R_L.</math>

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтахШаблон:Sfn. Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник Шаблон:Sfn. Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольникаШаблон:Sfn.

Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA лежат на одной окружностиШаблон:Sfn (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если Rm, Rn, Rk и Rl — радиусы вневписанных окружностей APB, BPC, CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D, то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет Шаблон:Sfn

<math>\frac{1}{R_m}+\frac{1}{R_n}=\frac{1}{R_k}+\frac{1}{R_l}.</math>

Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда Шаблон:Sfn

<math>\frac{m}{\triangle(APB)}+\frac{n}{\triangle(CPD)}=\frac{k}{\triangle(BPC)}+\frac{l}{\triangle(DPA)}</math>

где m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = pa и PC = pc. Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = pb и PD = pd. Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:Шаблон:Sfn

<math>mp_cp_d + np_aq_b = kp_ap_d + lp_cp_b</math>


или Шаблон:Sfn

<math>\frac{(p_a+p_b-m)(p_c+p_d-n)}{(p_a+p_b+m)(p_c+p_d+n)}=\frac{(p_c+p_b-k)(p_a+p_d-l)}{(p_c+p_b+k)(p_a+p_d+l)}</math>

илиШаблон:Sfn

<math>\frac{(m+p_a-p_b)(n+p_c-p_d)}{(m-p_a+p_b)(n-p_c+p_d)}=\frac{(k+p_c-p_b)(l+p_a-p_d)}{(k-p_c+p_b)(l-p_a+p_d)}.</math>

Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника

Описанный четырёхугольник является ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равныШаблон:Sfn.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N, L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когдаШаблон:SfnШаблон:Sfn

  • хорда MN перпендикулярна KL
  • <math>\frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC}</math>
  • <math>\frac{AC}{BD}=\frac{AM+CN}{BK+DL}</math>

Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным.

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторонШаблон:Sfn.

Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:Шаблон:Sfn

  • Площадь равна половине произведения диагоналей
  • Диагонали перпендикулярны
  • Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
  • Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
  • Средние линии имеют одинаковые длины
  • Произведения противоположных сторон равны
  • Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.

См. также

Примечания

Шаблон:Reflist

Ссылки

Шаблон:Статья

Шаблон:Статья

Внешние ссылки

Шаблон:Rq

Шаблон:Многоугольники

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Геометрия по Киселёву Шаблон:Wayback, §146.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 Шаблон:Cite web
  3. ↑ 3,0 3,1 Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [1]Шаблон:Недоступная ссылка, 1998, pp. 156–157.
  4. ↑ Шаблон:Cite web
  5. ↑ Gutierrez, Antonio, "Circumscribed Quadrilateral, Diagonal, Chord, Proportion", [2] Шаблон:Wayback, Accessed 2012-04-09.
  6. ↑ "Ineq-G126 - Geometry - very nice!!!!", Post at Art of Problem Solving, 2011, [3]
  7. ↑ "Determine ratio OM/ON", Post at Art of Problem Solving, 2011
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Описанный_четырёхугольник&oldid=10518840