Русская Википедия:Опорная функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Опорной функцией или опорным функционалом множества <math>M</math>, принадлежащего векторному пространству <math>V</math>, называется функция <math>s_M</math> на сопряжённом пространстве <math>V^*</math>, определяемая соотношением

<math>s_M (y) = \sup_{x\in M} y(x).</math>

Например, опорная функция единичного шара в нормированном пространстве <math>V</math> это норма на сопряжённом пространстве.

Свойства

• Опорная функция всегда выпуклая, замкнутая и положительно однородная (первой степени).
• Оператор <math>s_*\colon M \to s_M</math> взаимно однозначно отображает совокупность выпуклых замкнутых множеств в <math>V</math> на совокупность выпуклых замкнутых положительно однородных функций, обратный оператор — не что иное, как субдифференциал (в нуле) опорной функции.
  • Именно, если <math>M</math> — выпуклое замкнутое подмножество в <math>V</math>, то <math>d(s_M) = M</math>, и если <math>p</math> — выпуклая замкнутая однородная функция на <math>V^*</math>, то <math>s(dp(0))=p</math>.
• <math>s_{\lambda A}=\lambda s_A</math> если <math>\lambda\ge 0</math>.
• <math>s_{A+B}=s_A+s_B</math>, где <math>A+B</math> обозначает сумму Минковского
• <math>s_{A\cap B}= conv(\min\{s_A,s_B\})</math> где <math>conv(f)</math> обозначает максимальную выпуклую функцию не превосходящую <math>f</math>.
• <math>s_{A\cup B}=s_{conv A\cup B}=\max\{s_A,s_B\}</math> где <math>conv X</math> обозначает выпуклую оболочку <math>X</math>.

См. также

• Функционал Минковского

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — Шаблон:М: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.