Русская Википедия:Определитель Грама

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Определителем Грама (грамианом) системы векторов <math>\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n</math> в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

<math>\begin{vmatrix}

\langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ \langle e_2,\;e_1\rangle & \langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ \end{vmatrix},</math> где <math>\langle e_i,\;e_j\rangle</math> — скалярное произведение векторов <math>\mathbf{e}_i</math> и <math>\mathbf{e}_j</math>.

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве <math>V</math> система векторов <math>\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n</math> порождает подпространство <math>U</math>. Зная, чему равны скалярные произведения вектора <math>\mathbf{x}</math> из <math>U</math> с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора <math>x</math> по векторам <math>\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n</math>.

Исходя из разложения

<math>\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\ldots+x_n\mathbf{e}_n,</math>

получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

<math>\begin{cases}

\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n= \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle; \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n=\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle; \\ \quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n=\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle. \\ \end{cases}</math> Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы <math>\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n</math> линейно независимы. Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.

Геометрический смысл определителя Грама

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве <math>V</math> система векторов <math>\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n</math> порождает подпространство <math>U</math>. Зная скалярные произведения вектора <math>\mathbf{x}</math> из <math>V</math> с каждым из этих векторов, найти расстояние от <math>\mathbf{x}</math> до <math>U</math>.

Минимум расстояний <math>|\mathbf{x}-\mathbf{u}|</math> по всем векторам <math>\mathbf{u}</math> из <math>U</math> достигается на ортогональной проекции вектора <math>\mathbf{x}</math> на <math>U</math>. При этом <math>\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{n}</math>, где вектор <math>\mathbf{n}</math> перпендикулярен всем векторам из <math>U</math>, и расстояние от <math>\mathbf{x}</math> до <math>U</math> равно модулю вектора <math>\mathbf{n}</math>. Для вектора <math>\mathbf{u}</math> решается задача о разложении (см. выше) по векторам <math>\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n</math>, и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

<math>\mathbf{u}=-\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix}

\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{0} \end{vmatrix},</math> где <math>\Gamma</math> — определитель Грама системы. Вектор <math>\mathbf{n}</math> равен:

<math>\mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u}=\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix}

\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{x} \end{vmatrix}</math> и квадрат его модуля равен

<math>|\mathbf{n}|^2=\langle\mathbf{n},\;\mathbf{x}\rangle=\frac{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x})}{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\;\mathbf{e}_n)}.</math>

Из этой формулы индукцией по <math>n</math> получается следующее утверждение:

• Определитель Грама системы <math>n</math> векторов равен квадрату объёма <math>n</math>-мерного параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.

См. также

• Процесс Грама ― Шмидта