Русская Википедия:Оптическая теорема
Оптическая теорема — соотношение в волновой теории рассеяния, связывающее амплитуду рассеяния <math>f(\theta)</math> и сечение рассеяния <math>\sigma</math>.
Оптическая теорема формулируется следующим образом:
- <math>\sigma = \frac{4\pi}{k} \operatorname{Im} f(0),</math>
где <math>f(0)</math> — амплитуда рассеяния вперёд, <math>\sigma</math> — полное сечение рассеяния, <math>k</math> — волновой вектор падающей волны. Так как теорема является следствием закона сохранения энергии (в квантовой механике — вероятности), то она является довольно общим утверждением, имеющим широкую область применения.
Более общий вид теоремы:
- <math>f(\mathbf n, \mathbf n') - f^*(\mathbf n', \mathbf n) = \frac{i k}{2 \pi} \int f(\mathbf n, \mathbf n) f^*(\mathbf n', \mathbf n) \,d\omega.</math>
Доказательство
Асимптотический вид амплитуды рассеяния на больших расстояниях:
- <math>\psi \approx e^{i k r (\mathbf n, \mathbf n')} + \frac{1}{r} f(\mathbf n, \mathbf n') e^{i k r},</math>
где <math>\mathbf n</math> — направление падения частиц, <math>\mathbf n'</math> — направление рассеяния.
Любая линейная комбинация функций <math>\psi</math> с различными направлениями падения также представляет некий возможный процесс рассеяния. Умножив <math>\psi</math> на произвольные коэффициенты <math>F(\mathbf n)</math> и проинтегрировав по всем направлениям <math>\mathbf n</math>, получим такую линейную комбинацию в виде интеграла
- <math>\int F(\mathbf n) e^{i k r (\mathbf n, \mathbf n')} \,d\Omega + \frac{e^{i k r}}{r} \int F(\mathbf n) f(\mathbf n, \mathbf n') \,d\Omega.</math>
Поскольку расстояние <math>r</math> велико, то множитель <math>e^{i k r (\mathbf n, \mathbf n')}</math> в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора <math>\mathbf n</math>. Значение интеграла определяется потому в основном областями вблизи тех значений <math>\mathbf n</math>, при которых показатель экспоненты имеет экстремум (<math>\mathbf n \pm \mathbf n'</math>). В каждой из этих областей множитель <math>F(\mathbf n) \approx F(\pm\mathbf n')</math> можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование даёт
- <math>2 \pi i F(-\mathbf n') \frac{e^{-i k r}}{k r} - 2 \pi i F(\mathbf n') \frac{e^{i k r}}{k r} + \frac{e^{i k r}}{r} \int f(\mathbf n, \mathbf n') F(\mathbf n) \,d\Omega.</math>
Перепишем это выражение в более компактном виде, опустив общий множитель <math>2 \pi i / k</math>:
- <math>\frac{e^{-i k r}}{r} F(-\mathbf n') - \frac{e^{i k r}}{r} \hat{S} F(\mathbf n'),</math>
где
- <math>\hat{S} = 1 + 2 i k \hat{f},</math>
а <math>\hat{f}</math> — интегральный оператор:
- <math>\hat{f} F(\mathbf n') = \frac{1}{4 \pi} \int f(\mathbf n, \mathbf n') F(\mathbf n) \,d\Omega.</math>
Первый член волновой функции описывает сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящихся и расходящихся волнах. Другими словами, эти волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния <math>\hat{S}</math> должен быть унитарным, то есть
- <math>\hat{S} \hat{S}^+ = \hat{1},</math>
или (с учётом выражения для <math>\hat{S}</math>):
- <math>\hat{f} - \hat{f}^+ = 2 i k \hat{f} \hat{f}^+.</math>
Наконец, учитывая определение <math>\hat{f}</math>, получаем утверждение теоремы:
- <math>f(\mathbf n, \mathbf n') - f^*(\mathbf n', \mathbf n) = \frac{i k}{2 \pi} \int f(\mathbf n, \mathbf n) f^*(\mathbf n', \mathbf n) \,d\Omega.</math>
Литература
