Русская Википедия:Опыт Хейнса — Шокли
Опыт Хейнса — Шокли — классический физический эксперимент[1], впервые доказавший существование тока неосновных носителей (дырочной проводимости в полупроводнике n-типа) в полупроводниках и позволивший измерить основные свойства дырок — скорость дрейфа и скорость диффузии. Опыт был поставлен Ричардом Хейнсом в лаборатории полупроводников Bell Labs в феврале 1948 года[2] и теоретически объяснён Уильямом Шокли. Статья Хейнса и Шокли с описанием опыта была опубликована в 1949 году в Physical ReviewШаблон:Sfn.
Описание эксперимента
В своём первом опыте Хейнс использовал стержень из германия с электронным типом проводимости длиной 25 мм и поперечным сечением около 8 мм². Концы стержня были подключены к батарее, порождавшей в стержне ток электронов (справа налево, из минуса — в плюс). Левый по схеме скользящий контакт-зонд (аналог эмиттера точечного транзистора) был подключен к генератору коротких импульсов тока положительной полярности, правый контакт-зонд (аналог коллектора) был подключен к осциллографу, синхронизируемому генератором в ждущем режимеШаблон:Sfn.
Если бы стержень был изготовлен не из полупроводника, а из металла, то в нём бы протекал только ток электронов, и наблюдаемый на экране осциллографа импульс совпадал бы по времени с импульсом тока генератора. Но в эксперименте с германиевым стержнем на экране осциллографа наблюдалось два импульса. Первый из них, узкий импульс тока замыкания, совпадал по времени с передним фронтом импульса генератора, второй (импульс дырочного тока) значительно оставал от импульса генератора и имел размытую, колоколообразную форму. Задержка и ширина второго импульса увеличивались с ростом расстояния между зондами. При изменении полярности батареи второй (размытый) импульс не наблюдалсяШаблон:Sfn.
Шокли объяснил увиденное тем, что эмиттер инжектирует в стержень не электроны, а дырки. Инжектированные дырки дрейфуют в сторону отрицательного полюса батареи (вправо) со скоростью, прямо пропорциональной напряжённости поля в полупроводнике. Время дрейфа между двумя зондами пропрорционально расстоянию между ними. Одновременно, хаотичные тепловые перемещения дырок (диффузия) приводят к размыванию формы импульсаШаблон:Sfn. За время дрейфа группы инжектированных дырок между двумя зондами «она может распространиться по всему поперечному сечению образца и вдоль него на величину, кратную нескольким его диаметрам»Шаблон:Sfn. При изменении полярности батареи дырки движутся в сторону, противоположную коллектору (влево от эмиттера) — поэтому расположенный справа от эмиттера коллектор «не видит» импульса дырочного токаШаблон:Sfn.
Измерения, проведённые на кремнии и германии разных типов проводимости, подтвердили положение статистической физики о том, что подвижность μ (зависимость скорости дрейфа от напряжённости поля) и электронов, и дырок связана с коэффициентом диффузии D простым отношением:
D = μ (kT/q), где kT/q — электрический потенциал, соответствующий средней тепловой энергии электрона, и равный 25 мВ при комнатной температуре.
Шаблон:Начало цитаты Смысл его таков, что электрон, участвующий в беспорядочном тепловом движении, способен преодолеть потенциальный барьер с высотой, равной в среднем 0,025 В. Другими словами, 0,025 В — это электрический потенциал, соответствующий средней тепловой энергии электрона. То обстоятельство, что указанное отношение равно 0,025 В, показывает, что заряд носителей, дрейф и диффузия которых исследуются в опыте Хайнса, равен по величине заряду электронаШаблон:Sfn. Шаблон:Конец цитаты
Уравнения для токов
Чтобы увидеть эффект, рассмотрим полупроводник n-типа длиной d. Нас будут интересовать такие характеристики носителей тока как подвижность, коэффициент диффузии и время релаксации. Удобно рассматривать одномерную задачу (векторы опущены для простоты).
Уравнения для электронного и дырочного токов записываются в виде:
- <math>j_e=-\mu_n n E-D_n \frac{\partial n}{\partial x}</math>
- <math>j_p=+\mu_p p E-D_p \frac{\partial p}{\partial x}</math>
где je(p) — плотность тока для электронов (e) и дырок(p), μe(p) — соответствующие подвижности, E — электрическое поле, n и p — плотности носителей заряда, De(p) — коэффициенты диффузии, x — независимая координата. Первое слагаемое в каждом уравнении линейное по электрическому полю соответствует дрейфовой составляющей полного тока, а второе — пропорциональное градиенту концентрации — диффузии.
Вывод
Рассмотрим уравнение непрерывности:
- <math>\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{-(n-n_0)}{\tau_n}-\frac{\partial j_e}{\partial x}</math>
- <math>\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{-(p-p_0)}{\tau_p}-\frac{\partial j_p}{\partial x}.</math>
Индекс 0 указывает равновесные концентрации. Электроны и дырки рекомбинируют с временем жизни носителей τ.
Определим
- <math>p_1=p-p_0\,,\quad n_1=n-n_0</math>
поэтому приведённая выше система уравнений преобразуется к виду:
- <math>\frac{\partial p_1}{\partial t}=D_p \frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2}-\mu_p p \frac{\partial E}{\partial x}-
\mu_p E \frac{\partial p_1}{\partial x}-\frac{p_1}{\tau_p}</math>
- <math>\frac{\partial n_1}{\partial t}=D_n \frac{\partial^2 n_1}{\partial x^2}+\mu_n n \frac{\partial E}{\partial x}+
\mu_n E \frac{\partial n_1}{\partial x}-\frac{n_1}{\tau_n}</math>
В простейшем приближении, можно считать электрическое поле постоянным между левым и правым электродами и пренебречь ∂E/∂x, однако, электроны и дырки диффундируют с разными скоростями, и материал имеет локальный электрический заряд, вызывая неоднородное распределение электрического поля, которое может быть рассчитано из закона Гаусса:
- <math>\frac{\partial E}{\partial x}= \frac{\rho}{\epsilon \epsilon_0}=\frac{e_0 ((p-p_0)-(n-n_0))}{\epsilon \epsilon_0} = \frac{e_0 (p_1-n_1)}{\epsilon \epsilon_0}</math>
где ε — диэлектрическая проницаемость полупроводника, ε0 — диэлектрическая проницаемость вакуума, ρ — плотность заряда, и e0 — элементарный заряд.
сделаем замену переменных:
- <math>p_1 = n_\text{mean}+\delta\,,\quad n_1 = n_\text{mean}-\delta\,,</math>
и пусть δ будет гораздо меньше, чем <math>n_\text{mean}</math>. Два исходных уравнений запишутся в виде:
- <math>\frac{\partial n_\text{mean}}{\partial t}=D_p \frac{\partial^2 n_\text{mean}}{\partial x^2}-\mu_p p \frac{\partial E}{\partial x}-
\mu_p E \frac{\partial n_\text{mean}}{\partial x}-\frac{n_\text{mean}}{\tau_p}</math>
- <math>\frac{\partial n_\text{mean}}{\partial t}=D_n \frac{\partial^2 n_\text{mean}}{\partial x^2}+\mu_n n \frac{\partial E}{\partial x}+
\mu_n E \frac{\partial n_\text{mean}}{\partial x}-\frac{n_\text{mean}}{\tau_n}</math>
Используя соотношение Эйнштейна <math>\mu=e\beta D</math>, где β — величина обратная произведению температуры и постояннай Больцмана, эти два уравнения можно объединить:
- <math>\frac{\partial n_\text{mean}}{\partial t}=D^* \frac{\partial^2 n_\text{mean}}{\partial x^2}-
\mu^* E \frac{\partial n_\text{mean}}{\partial x}-\frac{n_\text{mean}}{\tau^*},</math>
где для D*, μ* and τ* справедливо:
- <math>D^*=\frac{D_n D_p(n+p)}{p D_p+nD_n}</math>, <math>\mu^*=\frac{\mu_n\mu_p(n-p)}{p\mu_p+n\mu_n}</math> and <math>\frac{1}{\tau^*}=\frac{p\mu_p\tau_p+n\mu_n\tau_n}{\tau_p\tau_n(p\mu_p+n\mu_n)}.</math>
Учитывая, n >> p или p → 0 (что справедливо для полупроводников только с малой концентрацией неосновных носителей), D* → Dp, μ* → μp и 1/τ* → 1/τp. Полупроводник ведет себя, как если бы только дырки двигались в нём.
Окончательное выражение для носителей:
- <math>n_\text{mean}(x,t)=A \frac{1}{\sqrt{4\pi D^* t}} e^{-t/\tau^*} e^{-\frac{(x+\mu^*Et-x_0)^2}{4D^*t}}</math>
Его можно интерпретировать как дельта-функцию, которая создается сразу же после импульса. Дырки затем начать двигаться к противоположному электроду, где их детектируют. Сигнал при этом приоретает форму гауссиана.
Параметры Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math можно получить из анализа формы сигнала.
- <math>\mu^*=\frac{d}{E t_0}\,,</math>
- <math>D^*=(\mu^* E)^2 \frac{(\delta t)^2}{16 t_0}\,,</math>
где Шаблон:Math — расстояние дрейфа за время Шаблон:Math, и Шаблон:Math — ширина импульса.
Примечания
Источники
