Русская Википедия:Ориентация
Шаблон:О Ориента́ция, в классическом случае — выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определённом смысле. Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.
В элементарной математике ориентация часто описывается через понятие «направления по и против часовой стрелки».
Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств (многообразий, векторных расслоений, Шаблон:Не переведено 5 и т. д.). Современный взгляд на ориентацию даётся в рамках обобщённых теорий когомологий.
Конечномерное векторное пространство
Пусть <math>V</math> — конечномерное векторное пространство над упорядоченным полем. Два базиса этого пространства называются одинаково ориентированными, если определитель матрицы перехода от одного из них к другому положителен. Классы эквивалентности одинаково ориентированных базисов называются ориентациями пространства <math>V</math>. Нетрудно проверить, что у любого такого пронстранства есть ровно две ориентации.
- Для пространств размерности <math>1</math> ориентация есть то же самое, что и направление — класс сонаправленных векторов.
- Для пространств размерности <math>2</math> ориентация отождествляется с направлением поворота. Под направлением поворота, соответствующим ориентации базиса <math>e_1,e_2</math>, понимается то направление поворота, в котором угол поворота от вектора <math>e_1</math> до <math>e_2</math> меньше. Благодаря этому можно часто услышать, что ориентациями плоскости являются направления по часовой стрелке и против часовой стрелки.
- Для пространств размерности <math>3</math> ориентация отождествляется с понятиями левой и правой тройки векторов.
В пространстве без каких-то дополнительных структур обе ориентации являются равнозначными, однако часто бывает полезным предпочитать одну ориентацию другой. Для этого вводится понятие ориентированного пространства как упорядоченная пара <math>(V,w)</math>, где <math>V</math> — векторное пространство, а <math>w</math> — одна из его ориентаций. Ориентация <math>w</math> для такого пространства называется положительной, а противоположная ей — отрицательной. Таким образом, ориентированное пространство — это пространство, на котором выбрано, какую из ориентаций считать положительной, а какую отрицательной.
При изображении ориентированной плоскости положительной ориентацией обычно считают направление против часовой стрелки. Поэтому понятия положительной ориентации плоскости и направления против часовой стрелки часто отождествляют, несмотря на то, что направления поворота по и против часовой стрелки зависят от конкретного рисунка и ничто не мешает изобразить эту же плоскость, зеркально отразив её. Внутренние характеристики плоскости не поменяются, однако направления по и против часовой стрелки для наблюдателя поменяются местами. Аналогично обстоит дело и с пространством. В трёхмерном пространстве положительной ориентацией обычно считают правые тройки векторов и часто отождествляют эти понятия.
Замечания
Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в комплексном пространстве <math>\mathbb C^n</math> комплексный базис <math>e_1,e_2,...,e_n</math> определяет вещественный базис <math>e_1,e_2,...,e_n, ie_1,ie_2,...,ie_n</math> в том же пространстве, рассматриваемом как <math>\R^{2n}</math>, и все такие базисы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаёт ориентацию в <math>\R^{2n}</math>).
Вариации и обобщения
Аффинное пространство
На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве <math>A</math> системы координат состоят из точки (начала <math>O</math>) и репера <math>\{e_i\}</math>, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).
Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует непрерывно зависящее от параметра <math>t\in[0, 1]</math> семейство координатных систем <math>O(t)</math>, <math>\{e_i(t)\}</math>, связывающее данные системы <math>O</math>, <math>\{e_i\}</math> и <math>O'</math>, <math>\{e'_i\}</math>.
При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.
Ориентация может быть задана порядком вершин <math>n</math>-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, тогда и только тогда, когда они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая <math>(n-1)</math>-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.
Многообразия
В связном многообразии <math>M</math> системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих <math>M</math>. Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны <math>+1</math>, а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие <math>M</math> называется ориентируемым. В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, тогда и только тогда, когда атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса называется ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке. В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке. Если <math>M</math> имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берётся репер, ориентирующий <math>M</math>, первый вектор которого направлен из <math>M</math>, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.
Дезориентирующий контур
Дезориентирующий контур — замкнутая кривая в многообразии, обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.
Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии <math>M</math>, причём однозначно определён гомоморфизм фундаментальной группы <math>\pi_1(M)</math> на <math>\mathbb Z_2</math> с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.
Вдоль любого пути <math>q: [0, 1]\to M</math> можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым ориентация в точке <math>q(0)</math> определяет ориентацию в точке <math>q(1)</math>, и эта связь зависит от пути <math>q</math> лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если <math>q</math> — петля, то есть <math>q(0) = q(1)=x_0</math>, то <math>q</math> называется дезориентирующим контуром, если эти ориентации противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы <math>\pi_1(M,x_0)</math> в группу порядка <math>2</math>: дезориентирующие петли переходят в <math>-1</math>, а остальные в <math>+1</math>. По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно называется ориентирующим (так как накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над <math>M</math> одномерное расслоение, тривиальное, тогда и только тогда, когда <math>M</math> ориентируемо. Для дифференцируемого <math>M</math> оно может быть определено как расслоение <math>\Omega^n(M)</math> дифференциальных форм порядка <math>n=\operatorname{dim} M</math>. Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задаёт форму объёма на <math>M</math> и одновременно ориентацию.
На языке гомологий
Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий <math>H^n(M,\Z)</math> (с замкнутыми носителями) изоморфна <math>\Z</math>, и выбор одной из двух образующих задаёт ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для <math>H^n(M,\partial M,\Z)</math>. В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары <math>(M,\partial M)</math>. Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.
Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе <math>H^n(M,M\backslash x_0,\Z)</math>, изоморфной <math>\Z</math> Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщённые гомологические многообразия.
Псевдомногообразия
Триангулированное многообразие <math>M</math> (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все <math>n</math>-мерные симплексы так, что два симплекса с общей <math>(n-1)</math>-мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка <math>n</math>-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую <math>(n-1)</math>-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.
Расслоения
Пусть над пространством <math>B</math> задано расслоение <math>p:E\to B</math> со стандартным слоем <math>F</math>. Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определённое путём в <math>B</math> однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.
Бесконечномерные пространства
Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.
См. также
Шаблон:Викисловарь Шаблон:Нет ссылок
