Русская Википедия:Ортогональная система координат

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:К улучшению Ортогональными называются криволинейные координаты, в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

<math>

ds^{2} = \sum_{k=1}^{n} \left( h_{k} dq^{k} \right)^{2} </math>, где <math>n</math> - размерность пространства. Скалярный фактор

<math>

h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} = |\mathbf e_k| </math> равен корню квадратному от диагональных компонент метрического тензора, или длине локального базисного вектора <math>\mathbf{e}_{k}</math>.

В ортогональных системах координат <math>\mathbf{q} = (q^{1}, q^{1}, \ldots, q^{n})</math> координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси <math>Ox</math>, <math>Oy</math> и <math>Oz</math>.

Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразования

Базисные векторы

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

<math>\mathbf{e}_{i}\cdot \mathbf{e}_{j}= \left\{ \begin{matrix}

  0, & i\ne j{;}  \\
  \vert\mathbf{e}_{i}\vert^2, & i = j{.}  

\end{matrix} \right .</math>

В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых <math>\mathbf{e}_{i}^{\left( n \right)}=\frac{\mathbf{e}_{i}}{\left| \mathbf{e}_{i} \right|}</math>.

Для нормированных базисных векторов <math>\mathbf{e}_{i}\cdot \mathbf{e}_{j}=\delta _{i j}</math>, где <math>\delta _{i j}</math> — символ Кронекера.

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

<math>\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}

= \sum_{k=1}^{n} h_{k}^2 x^{k} y^{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{x_{k} y_{k}}{h_{k}^{2}} = \sum_{k=1}^{n} x^{k} y_{k} = \sum_{k=1}^{n} x_{k} y^{k}</math>.