Русская Википедия:Ортогональное преобразование
Ортогональное преобразование — линейное преобразование <math>A</math> евклидова пространства <math>L</math>, сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов <math>x,y \in L</math> выполняется равенство
- <math>\langle A(x),\,A(y) \rangle = \langle x,\,y \rangle, </math>
где треугольными скобками обозначено скалярное произведение <math> \langle x,\,y \rangle</math> в пространстве <math>L</math>.
Свойства
- Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.
- Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования <math>A</math> является равенство
- <math>A^*=A^{-1}, \qquad (*)</math>
- где <math>A^*</math> — сопряжённое, а <math>A^{-1}</math> — обратное преобразования.
- В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы <math>A</math> является равенство (*), где <math>A^*</math> — транспонированная, а <math>A^{-1}</math> — обратная матрицы.
- Собственные значения ортогональных преобразований по модулю равны <math>1</math>, а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Например, собственные значения матрицы <math> \begin{pmatrix}
\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} </math> равны <math> \cos \varphi \pm i\cdot \sin \varphi </math>, а собственные векторы равны <math> \begin{pmatrix} 1 \\ \mp i \end{pmatrix} </math>.
- Определитель ортогонального преобразования равен <math> 1</math> (собственное ортогональное преобразование) или <math> -1</math> (несобственное ортогональное преобразование).
- В произвольном <math> n</math>-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
- Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).
Размерность 2
В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол <math> \varphi</math>, и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид
- <math>\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.
</math>
Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид
- <math>\begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}.
</math> Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид
- <math>\begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix},
</math> то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:
- <math>\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi& \sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}.
</math>
Размерность 3
В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.
Размерность n
Имеет место следующая общая теорема: Шаблон:Рамка Для каждого ортогонального преобразования <math>A\colon L \to L</math> евклидова <math>n</math>-мерного пространства <math>L</math> справедливо такое разложение
- <math> L = L_1 \oplus L_{-1} \oplus M_{\varphi_1} \oplus \ldots \oplus M_{\varphi_k},</math>
где все подпространства <math>L_{1},</math> <math>L_{-1}</math> и <math>M_{\varphi_i}</math> попарно ортогональны и являются инвариантными подпространствами преобразования <math>A</math>, причём:
- ограничение <math>A</math> на <math>L_1</math> есть <math>E</math> (тождественное преобразование),
- ограничение <math>A</math> на <math>L_{-1}</math> есть <math>-E</math>,
- все пространства <math>M_{\varphi_i}</math> двумерны (плоскости), и ограничение <math>A</math> на <math>M_{\varphi_i}</math> есть поворот плоскости <math>M_{\varphi_i}</math> на угол <math>\varphi_i</math>.
В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом: Шаблон:Рамка Для всякого ортогонального преобразования существует такой ортонормированный базис, в котором его матрица <math>A</math> имеет блочно-диагональный вид:
- <math>
A = \left(\begin{matrix} \, 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & \ddots & {} & {} & {} & {} & 0 & {} & {} \\ \, {} & {} & 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & -1 & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & \ddots & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & -1 & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_{\varphi_1} & {} & {} \\ \, {} & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \ddots & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_{\varphi_k} \\ \end{matrix}\right), </math> где <math>A_{\varphi_i}</math> — матрица поворота на угол <math>{\varphi_i}</math> (см. формулу выше), число единиц равно размерности подпространства <math>L_{1}</math> и число минус единиц равно размерности подпространства <math>L_{-1}</math>. Шаблон:Конец рамки Такая запись матрицы <math>A</math> ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.
См. также
Литература
- Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
- В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра. — Физматлит, Москва, 1999.
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука, 1966.
- Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
- Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
