Русская Википедия:Ортогональные траектории

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если <math>y_1'</math> — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а <math>y_2'</math> — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то <math>y_1'</math> и <math>y_2'</math> должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности:

<math>y_1' = -{1\over y_2'}</math>

Пусть у нас есть семейство кривых <math>g(x, y) = C</math>, где <math>C</math> — константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путём решения системы дифференциальных уравнений:

<math>\nabla f(x, y) \cdot \nabla g(x, y) = 0</math>

Используя определение градиента, можно записать:

<math>\nabla f(x, y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)</math>

Таким образом:

<math>\nabla f(x, y) \cdot \nabla g(x, y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) \cdot \left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g}{\partial y} = 0</math>

Примеры

Пусть у нас есть семейство прямых линий, проходящих через начало координат, заданных уравнением <math>y = kx</math>. Дифференцируя данное уравнение по переменной <math>x</math>, получаем:

<math>y' = k = \mathrm{const}</math>

Исключим параметр <math>k</math> из системы:

<math>

\begin{cases}

 y = kx \\
 y' = k

\end{cases} \Rightarrow y' = \frac{y}{x} </math> Заменим <math>y'</math> на <math>\left( -\frac{1}{y'} \right)</math>:

<math>-\frac{1}{y'} = \frac{y}{x} \Rightarrow y' = -\frac{x}{y} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}</math>

Мы получили типичное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем:

<math>ydy = -xdx \Rightarrow \int{ydy} = -\int{xdx} \Rightarrow \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = C</math>

Данное уравнение есть не что иное, как уравнение окружности радиуса <math>\sqrt{2C}</math>. Действительно:

<math>R^2 = 2C \Rightarrow x^2 + y^2 = R^2</math>

Литература

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стр. 23, Пример 8)

Ссылки

• Ортогональные траектории