Русская Википедия:Ортогональный базис
Ортогона́льный (ортонорми́рованный) ба́зис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
Конечномерный случай
Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. Ортонормированный базис удовлетворяет ещё и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.
Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:
- <math> ( e_i, e_j ) = \delta_{ij},</math>
то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (<math>i\ne j</math>), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.
Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).
Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.
Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:
- <math>\ \mathbf{a} = a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} + \ldots + a_n \mathbf{e_n} </math>
можно найти так:
- <math>\ a_i = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e_i})}{(\mathbf{e_i},\mathbf{e_i})}.</math>
Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора <math>\mathbf{a}</math> квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:
- <math>(\mathbf{a},\mathbf{a}) = \sum_i (\mathbf{a},\mathbf{e_i})^2,</math>
Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).
Бесконечномерный случай
Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов <math>e_1,e_2,...,e_n,...</math> гильбертова пространства <math>X</math> такая, что любой элемент <math>x\in X</math> однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда
- <math>x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n ,</math>
называемого рядом Фурье элемента <math>x</math> по системе <math>\{e_n\}</math>.
Часто базис <math>\{e_n\}</math> выбирается так, что <math>|e_n|=1</math>, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа <math>a_n</math>, называются коэффициентами Фурье элемента <math>x</math> по ортонормированному базису <math>\{e_n\}</math>, имеют вид
- <math>a_n=( x,e_n )</math>.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система <math>\{e_n\}</math> была базисом, является равенство Парсеваля.
Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.
Если задана произвольная система чисел <math>\{a_n\}</math> такая, что <math>\sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty</math>, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом <math>\{e_n\}</math> ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_ne_n</math> — сходится по норме к некоторому элементу <math>x\in X</math>. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству <math>l_2</math> (теорема Рисса — Фишера).
Примеры
- Стандартный базис <math>e_1=(1, 0,\ldots,0)^\mathrm{T}, e_2=(0, 1,\ldots, 0)^\mathrm{T}, \ldots e_n=(0, 0,\ldots,1)^\mathrm{T}</math> в n-мерном евклидовом пространстве Rn является ортонормированным.
- Множество <math>\{f_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}, n \in \mathbb{Z}\}</math> образует ортонормированный базис в <math>L^2([-\pi, \pi]) </math>.
Литература
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
- Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.
См. также
