Русская Википедия:Ортонормированная система

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.

Определение

Для любых элементов этой системы <math>\varphi_i, \varphi_j</math> скалярное произведение <math>(\varphi_i, \varphi_j) = \delta_{ij}</math>, где <math>\delta_{ij}</math> — символ Кронекера:

<math>\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}

1, & i=j \\ 0, & i \ne j \end{matrix}\right.</math>

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента <math>\vec a</math> может быть вычислено по формулам: <math>\vec a = \sum_{k} \alpha_i \varphi_i</math>, где <math>\alpha_i = (\vec a, \varphi_i)</math>.

Примеры

• В конечномерном пространстве <math>R^n</math> ортонормированной системой будет набор векторов:

<math>e_1=(1,0,\dots,0),e_2=(0,1,0,\dots,0),\dots, e_n=(0,0,\dots,0,1)</math>.

• В пространстве <math>L^2[0,l]</math> ортонормированной системой будет множество функций:

<math>\varphi_k(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin k\frac{\pi}{l}x</math>.

Более того, эта система функций также будет ортонормированным базисом в пространстве <math>L^2[0,l]</math>.

• В пространстве <math>L^2[0,1]</math> система функций Радемахера является ортонормированной.

Ортогонализация

По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.

См. также

• Ортонормированный базис
• Ортогональные многочлены