Русская Википедия:Ортополюс

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Orthopole.svg
Ортополюс H системы, состоящей из треугольника ABC и прямой линии ℓ (она изображена в виде прямой Шаблон:Nowrap)

Ортополюс системы, состоящей из треугольника ABC и прямой линии ℓ (на рис. справа этой прямой ℓ соответствует прямая Шаблон:Nowrap) в данной плоскости, является точкой, определяемой следующим образом.[1]. Пусть Шаблон:Nowrap — основания перпендикуляров, проведенных к прямой ℓ из вершин треугольника соответственно Шаблон:Nowrap. Пусть Шаблон:Nowrap — основания перпендикуляров, проведенных к соответствующим противоположным сторонам Шаблон:Nowrap указанного треугольника или к продолжениям этих сторон. Тогда три прямые линии Шаблон:Nowrap пересекутся в одной точке — в ортополюсе H.[2] Благодаря своим многочисленным свойствам[3] ортополюсы стали предметом серьезного изучения [4]. Изучались некоторые ключевые понятия — определение линий, имеющих данный ортополюс [5] и ортополюсные окружности.[6]

Свойства

Замечание

Везде ниже в тексте ортополюсу P соответствует ортополюс H на рис. справа, а прямой ℓ ортополюса P на том же рис. соответствует прямая Шаблон:Nowrap.

Ортополюс и ортоцентр

  • Если проходит через ортоцентр Q треугольника, то точка, расположенная на продолжении отрезка PQ, соединяющего ортополюс с ортоцентром, по другую сторону на расстоянии, равном PQ, лежит на окружности Эйлера этого треугольника.[7]
  • Ортоцентр Q треугольника является ортополюсом его сторон относительно самого треугольника.[8]

Ортополюс как радикальный центр

  • Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.[9]

Ортополюс и описанная окружность

Ортополюс и прямая Симсона

  • Если ортополюс лежит на прямой Симсона, то его линия ℓ перпендикулярна ей.[3]
  • Если прямая ℓ ортополюса является прямой Симсона точки P, то точка P называется полюсом прямой Симсона ℓ[3]

Ортополюсы параллельных прямых

  • Если прямая ℓ ортополюса перемещается параллельно самой себе, то ее ортополюс смещается вдоль линии, перпендикулярной ℓ, на расстояние, равное перемещению.[3]
  • Ортополюсы двух параллельных прямых лежат на общем для них перпендикуляре к двум прямым на расстоянии, равном расстоянию между прямыми.[12]

Ортополюсы троек вершин четырехугольника

Если задана фиксированная прямая линия ℓ, и выбрана любая из трех вершин четырехугольника, то все ортополюсы данной прямой линии ℓ относительно всех таких треугольников лежат на одной прямой. Эта линия называется ортополярной линией данной линии ℓ относительно четырехугольника.[13]

Коника (эллипс), порожденная ортополюсами

  • Известно (см. [14][15]), что нахождение для данного фиксированного треугольника всех ортополюсов <math>O_Шаблон:PQ</math> для всех прямых <math>PQ</math>, проходящих через неподвижную точку <math>P</math>, порождает конику, которая всегда является эллипсом, касательным в 3 точках к дельтоиде Штейнера данного треугольника. Коника вырождается в прямую (отрезок), когда точка <math>P</math> находится на описанной окружности треугольника <math>ABC</math>. Эта коника обобщает свойство, обсуждаемое в статье [16], согласно которому для точки <math>P</math>, совпадающей с центром описанной окружности <math>O</math> треугольника, коника становится окружностью Эйлера [17]
  • Замечание. В данной статье в параграфе "Ортополюс и описанная окружность" упомянутое выше свойство звучит так:
Если прямая ℓ ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника.[3][18]

Точки Фейербаха , как ортополюсы

В англоязычной литературе 4 центра 4 окружностей: 1 вписанной и 3 вневписанных окружностей с центрами соответственно <math>I, J_A, J_B, J_C</math>, касающиеся соответственно 3 разных сторон <math>a, b, c</math> треугольника или их продолжений, - называют 4 трехкасательными центрами треугольника (the tritangent centers) [19]. Это замечание важно для следующего утверждения.

Точки Фейербаха треугольника являются ортополюсами данного треугольника, если в качестве прямых ℓ для этих ортополюсов взяты диаметры описанной окружности, проходящие через соответствующие трехкасательные центры [20]. Последнее утверждение есть следствие утверждения, указанного ниже.

Точка Фейербаха для данной вписанной или вневписанной окружности (трехкасательная окружность - по-английски "a tritangent circle ") является точкой пересечения 2 прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности. Таким образом, точка Фейербаха может быть построена без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся ее окружности Эйлера[21].

Обобщение

Существование ортополюса вытекает из более общей теоремы, так называемой теоремы Штейнера об ортологических треугольниках [22].

Теорема Штейнера об ортологичных треугольниках утверждает (см. Теорема Штейнера об ортологических треугольниках), что, если Δ ABC ортологичен Δ A'B'C' , то это эквивалентно тому, что Δ A'B'C' ортологичен Δ ABC. В случае ортополюса проекции вершин треугольника ABC на прямую линию ℓ — точки A' , B' , C' — можно считать вершинами вырожденного треугольника, а параллельные перпендикуляры — пересекающимися в бесконечно удаленной точке.

  • Треугольники ортологические — треугольники ABC и A1B1C1, для которых перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые B1C1, C1A1 и A1B1 пересекаются в одной точке. В этом случае и перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1 и C1 на прямые BC, CA и AB также пересекаются в одной точке.

История

Ортополюс был открыт математиком М. Сунсом (M. Soons) в 1886-м году в статье на с. 57 в бельгийском научном журнале по элементарной математике Шаблон:Нп3, основанным в 1881 году Полем Мансионом (Paul Mansion) и Жозефом Жаном Батистом Нойбергом (Joseph Jean Baptiste Neuberg), а сам термин ортополюс (orthopole) предложен упомянутым Нойбергом в журнале "Mathesis" за 1911-й год на с. 244 согласно источникам[23],[24]

Замечание

Данное в самом начале определение ортополюса в книге Ефремова называется теоремой Сунса [25].

См. также

Полюс и поляра

Ссылки

Шаблон:Reflist

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite web
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 Шаблон:Cite web
  4. ↑ "The Orthopole Loci of Some One-Parameter Systems of Lines Referred to a Fixed Triangle" Author(s): O. J. Ramler The American Mathematical Monthly, Vol. 37, No. 3 (Mar., 1930), pp. 130–136 Published by: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2299415 Шаблон:Wayback
  5. ↑ "The Projective Theory of Orthopoles", Sister Mary Cordia Karl, The American Mathematical Monthly, Vol. 39, No. 6 (June–July, 1932), pp. 327–338 Published by: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2300757 Шаблон:Wayback
  6. ↑ Шаблон:Cite journal
  7. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole. §699. Theorem. Fig. 156. P. 290-291.
  8. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole. §Exercises. §1. P. 291.
  9. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole. §Exercises. §6. P. 291.
  10. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §694, Fig. 155, p. 288.
  11. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §697. Theorem, Fig. 155, p. 289-290.
  12. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §693, Fig. 154, p. 287-288
  13. ↑ Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA Шаблон:Wayback
  14. ↑ Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1995, pp. 106-110.
  15. ↑ Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, p. 17.
  16. ↑ Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html Шаблон:Wayback
  17. ↑ "5. Conic generated by orthopoles" In: Orthopole of a chord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html Шаблон:Wayback
  18. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §694. Fig. 155, p. 288.
  19. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. The tritangent centers. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Шаблон:Wayback
  20. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. Corollary. P.290// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Шаблон:Wayback
  21. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Remark. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Шаблон:Wayback
  22. ↑ Мякишев А. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Математика. Все для учителя! № 6 (6). июнь. 2011. с. 6, Определение ортопола, рис. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
  23. ↑ Ion Pătrașcu. THE DUAL OF THE ORTHOPOLE THEOREM// https://rxiv.org/pdf/1404.0148v1.pdf Шаблон:Wayback
  24. ↑ Nathan Altshiller-Court.College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 306, §692, §694
  25. ↑ Шаблон:Книга. Глава VIII, п. 47, с. 244-245, фиг. 132
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Ортополюс&oldid=10525664