Русская Википедия:Ортотреугольник
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Ортотреуго́льник (или ортоцентрический треугольник) — треугольник <math>\triangle abc</math>, вершины которого являются основаниями высот исходного треугольника <math>\triangle ABC</math>. Для ортотреуго́льника <math>\triangle abc</math> исходный треугольник <math>\triangle ABC</math> является треугольником трёх внешних биссектрис. Точка пересечения высот исходного треугольника <math>\triangle ABC</math> называется ортоцентром и является центром вписанной окружности ортотреуго́льника <math>\triangle abc</math>.
Свойства
- Задача Фаньяно: ортотреугольник остроугольного треугольника <math>\triangle ABC</math> обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.
- Окружность девяти точек: окружность, описанная вокруг ортотреугольника остроугольного треугольника <math>\triangle ABC</math>, проходит через середины сторон треугольника Δ<math>ABC</math> и через середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника <math>\triangle ABC</math>. Радиус этой окружности равен половине радиуса окружности, описанной вокруг треугольника Δ<math>ABC</math>.
- Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
- Стороны треугольника являются тремя внешними биссектрисами его ортотреугольника, таким образом треугольник является треугольником трёх внешних биссектрис своего ортотреугольника.
- Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
- Если точки <math>A_1</math>, <math>B_1</math> и <math>C_1</math> на сторонах соответственно <math>BC</math>, <math>AC</math> и <math>AB</math> остроугольного треугольника Δ<math>ABC</math> таковы, что <math>\angle BA_1 C_1 = \angle CA_1 B_1</math>, <math>\angle CB_1 A_1 = \angle AB_1 C_1</math> и <math>\angle AC_1 B_1 = \angle BC_1 A_1</math>, то <math>A_1 B_1 C_1</math> — ортотреугольник треугольника <math>\triangle ABC</math>.
- Ортотреугольник треугольника Δ<math>ABC</math> отсекает при вершинах <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> треугольники, подобные треугольнику Δ<math>ABC</math> с коэффициентами подобия соответственно <math>|cos(\angle A)|</math>, <math>|cos(\angle B)|</math>, <math>|cos(\angle C)|</math>.
- Окружности, описанные вокруг отсекаемых ортотреугольником треугольников, проходят через ортоцентр, и их центры лежат на серединах отрезков, соединяющих ортоцентр исходного треугольника с вершинами исходного треугольника.
- Если вокруг остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует треугольник, который называют тангенциальным треугольником по отношению к исходному треугольнику, и стороны которого параллельны сторонам ортотреугольника исходного треугольника.
Свойства подобия родственных треугольников
- Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
- Треугольник Жергонна ортотреугольника и исходный треугольник подобны (см. рисунок).
- Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
- Ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
- Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников.
Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников
- Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
- Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
- Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
- Если точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, то получится треугольник Жергонна. Пусть в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
Другие свойства
- Площадь ортотреугольника равна:
- <math>S_{ort}=\frac{S}{(2abc)^2}(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)</math>
где <math>S</math> — площадь треугольника ΔABC; <math>a, b, c</math> — его соответствующие стороны.
- Окружность, описанная около ортотреугольника Δabc, для самого треугольника ΔABC является окружностью Эйлера (окружностью 9 точек), то есть одновременно проходит, через 3 основания медиан последнего. Заметим, что эти 3 основания медиан являются вершинами дополнительного треугольника для треугольника ΔABC.
- Радиусы окружности, описанной около данного треугольника ΔABC, проведенные через его вершины, перпендикулярны соответственным сторонам ортотреугольника Δabc (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81).
Литература
- Книга:Элементарная геометрия. Понарин
- Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.
