Русская Википедия:Основная лемма вариационного исчисления

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Основная лемма вариационного исчисления (или лемма Лагранжа) даёт интегральное условие на функцию позволяющее заключить, что функция равна нулю. Известно несколько версий леммы; базовую версию легко сформулировать и доказать.

Базовая версия

Если непрерывная функция <math>f</math> на открытом интервале <math>(a,b)</math> удовлетворяет равенству

<math> \int\limits_a^b f(x)\cdot h(x) dx = 0 </math>

для всех финитных гладких функций <math>h</math> на <math>(a,b)</math>, тогда <math>f</math> является тождественным нулёмШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Замечания

• Гладкость может означать что функция <math>f</math> бесконечно дифференцируемаШаблон:Sfn, но чаще интерпретируется как то, что функция <math>f</math> дважды непрерывно дифференцируема или даже непрерывно дифференцируема или даже просто непрерывнаШаблон:Sfn.
• Финитность означает, что <math>h</math> обнуляется за пределами замкнутого интервала <math>[c,d]\subset (a,b)</math>, но часто достаточно условие того, что <math>h</math> (или <math>h</math> и ряд его производных) обращается в нуль на концах интервала <math>[a,b]</math>, в этом случае <math>h</math> предполагается определённой на интервале <math>[a,b]</math>.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга