Русская Википедия:Основная теорема о вычетах
Основна́я теоре́ма о вы́четах — мощный инструмент для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.
Формулировка: если функция <math>f</math> аналитична в некоторой замкнутой односвязной области <math>\overline G\subset\mathbb C</math>, за исключением конечного числа особых точек <math>a_1,a_2,\dots,a_n</math>, из которых ни одна не принадлежит граничному контуру <math>\partial G</math>, то справедлива следующая формула:
- <math>~\int\limits_{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\mathop{\mathrm{res}}_{z=a_k}f(z),</math>
где <math>\mathop{\mathrm{res}}_{z=a_k}f</math> — вычет функции <math>f</math> в точке <math>a_k</math>.
Обход контура <math>\partial G</math> производится против часовой стрелки. Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно аналитически продолжить интегрируемую вещественную функцию на комплексную плоскость и найти её вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.
Пример
Интеграл
- <math>~\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx</math>
возникает в теории вероятностей при расчёте характеристической функции распределения Коши и не поддаётся вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру <math>C</math>, указанному на рисунке (<math>a>1</math>). Интеграл равен
- <math>~\int\limits_C {f(z)}\,dz =\int\limits_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.</math>
Так как <math>e^{itz}</math> — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где <math>z^2+1=0</math>. Так как <math>z^2+1=(z+i)(z-i)</math>, это возможно лишь при <math>z=i</math> или <math>z=-i</math>. В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.
<math>\frac{e^{itz}}{z^2+1}</math> <math>{}=\frac{e^{itz}}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)</math> <math>{}=\frac{e^{itz}}{2i(z-i)} -\frac{e^{itz}}{2i(z+i)} ,</math>
Вычет <math>f(z)</math> в <math>z=i</math> равен
- <math>\mathop{\mathrm{res}}_{z=i}f(z)={e^{-t}\over 2i}.</math>
Тогда, по основной теореме о вычетах:
- <math>~\int\limits_C f(z)\,dz=2\pi i\,\mathop{\mathrm{res}}_{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.</math>
Контур <math>C</math> можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что
- <math>~\int\limits_{\mbox{straight}}+\int\limits_{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,.</math>
Поэтому
- <math>~\int\limits_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int\limits_{\mbox{arc}}.</math>
Можно показать, что при <math>t>0</math>:
- <math>~\int\limits_{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^2+1}\,dz
\rightarrow 0; \quad a\rightarrow\infty.</math>
Поэтому, если <math>t>0</math>, то
- <math>~\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.</math>
Аналогичным образом, для дуги, охватывающей точку <math>-i</math> вместо <math>i</math>, можно показать, что при <math>t<0</math>:
- <math>~\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^t,</math>
В итоге получаем:
- <math>~\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.</math>
(При <math>t=0</math> интеграл вычисляется обычными методами анализа, он равен <math>\pi</math>)
См. также
Ссылки
