Русская Википедия:Основная теорема римановой геометрии
Шаблон:Эта статья Основная теорема римановой геометрии утверждает, что на любом римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии) имеется единственная метрическая связность без кручения, называемая связностью Леви-Чивиты данной метрики. Здесь метрическая (или риманова) связность — это связность, сохраняющая метрический тензор.
Формулировка
Основная теорема римановой геометрии. Пусть (M, g) — риманово многообразие (или псевдориманово многообразие). Тогда существует единственная аффинная связность ∇, удовлетворяющая следующим условиям:
- для любых векторных полей X, Y, Z выполняется
- <math>\partial_X \langle Y,Z \rangle = \langle \nabla_X Y,Z \rangle + \langle Y,\nabla_X Z \rangle,</math>
- где <math> \partial_X \langle Y,Z \rangle </math> означает производную функции <math> \langle Y,Z \rangle </math> вдоль векторного поля X.
- для любых векторных полей X, Y
- <math>\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y],</math>
- где [ X, Y ] означает скобку Ли векторных полей X, Y.
Первое условие означает, что метрический тензор сохраняется при параллельном переносе, а второе условие выражает тот факт, что кручение связности равно нулю.
Обобщение фундаментальной теоремы утверждает, что и на псевдоримановом многообразии существует единственная связность, сохраняющая метрический тензор с любой заданной векторнозначной 2-формой в качестве его кручения.
Доказательство
Следующее техническое доказательство представляет собой формулу символов Кристоффеля связности в локальной системе координат. Для конкретной метрики эта система уравнений может стать достаточно сложной. Существуют более быстрые и простые методы получения символов Кристоффеля для конкретной метрики — например, с использованием интеграла действия и связанных с ним уравнений Эйлера-Лагранжа.
Пусть m — размерность многообразия M. В некоторой локальной карте рассмотрим стандартные координатные векторные поля
- <math>{\partial}_i = \frac{\partial}{\partial x^i}, \qquad i=1,\dots,m</math>.
Локально элемент gij метрического тензора имеет вид
- <math>g_{i j} = \left \langle {\partial}_i, {\partial}_j \right \rangle</math>.
Чтобы задать связность, достаточно для всех i, j и k определить
- <math>\left \langle \nabla_{\partial_i}\partial_j, \partial_k \right \rangle</math>.
Напомним, что локально связность задается m 3 гладкими функциями
- <math>\left \{ \Gamma^l {}_{ij} \right \}</math>,
где
- <math>\nabla_{\partial_i} \partial_j = \sum_l \Gamma^l_{ij} \partial _l</math>.
Условие отсутствия кручения означает, что
- <math>\nabla_{ \partial _i} \partial _j = \nabla_{\partial_j} \partial_i</math>.
С другой стороны, совместимость с римановой метрикой записывается как
- <math> \partial_k g_{ij} = \left \langle \nabla_{\partial_k}\partial_i, \partial_j \rangle + \langle \partial_i, \nabla_{\partial_k} \partial_j \right \rangle</math>.
Для фиксированных i, j и k перестановки дают 3 уравнения с 6 неизвестными. Предположение об отсутствии кручения сокращает количество переменных до трёх. Полученная системы из трёх линейных уравнений имеет единственное решение
- <math>\left \langle \nabla_{ \partial_i }\partial_j, \partial_k \right \rangle = \tfrac{1}{2} \left ( \partial_i g_{jk}- \partial_k g_{ij} + \partial_j g_{ik} \right )</math>.
Это первое тождество Кристоффеля.
Далее, заметим, что
- <math>\left \langle \nabla_{ \partial_i }\partial_j, \partial_k \right \rangle = \Gamma^l _{ij} g_{lk}</math>,
где мы используем соглашение Эйнштейна, то есть парные верхний и нижний индекс означают, что происходит суммирование по всем значениям этого индекса. Обращением метрического тензора получаем второе тождество Кристоффеля:
- <math>\Gamma^l_{ij} = \tfrac{1}{2} \left ( \partial_i g_{jk}- \partial_k g_{ij} + \partial_j g_{ik} \right ) g^{kl}</math>.
Полученная связность и является связностью Леви-Чевиты.
Формула Кошуля
Альтернативное доказательство основной теоремы римановой геометрии состоит в том, чтобы показать, что метрическая связность без кручения на римановом многообразии M обязательно задается формулой Кошуля:
- <math>\begin{array}{ll}2 g(\nabla_XY, Z) &=\, X (g(Y,Z)) + Y (g(X,Z)) - Z (g(X,Y)) \\&\quad+\, g([X,Y],Z) - g([X,Z],Y) - g([Y,Z],X),\end{array}</math>,
где векторное поле <math>X</math> действует естественным образом на гладких функциях на римановом многообразии по формуле <math>Xf = \partial_X f</math>.
Предположим, что связность удовлетворяет условиям симметричности
- <math>\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]</math>
и совместимости с метрикой
- <math> Xg(Y,Z) =g(\nabla_X Y,Z) + g(Y,\nabla_X Z)</math>.
Тогда сумму <math>Xg(Y,Z) + Yg(X,Z) -Zg(Y,X)</math> можно упростить, что и приводит к формуле Кошуля.
При этом выражение для <math>g(\nabla_X Y,Z)</math> однозначно определяет <math>\nabla_X Y</math>, и напротив, формулу Кошуля можно использовать для задания <math>\nabla_X Y</math>, каковым способом обычно и проверяют, что связность <math>\nabla_X</math> является симметричной и согласованной с метрикой gШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
