Русская Википедия:Основная теорема теории Галуа
Основная теорема теории Галуа — теорема о расширениях полей определённого вида, ключевой результат теории Галуа.
Формулировка: для конечного расширения Галуа <math>E\supset F</math> существует взаимно-однозначное соответствие между множеством промежуточных полей <math>K</math> вида <math>E\supset K\supset F</math> и множеством подгрупп группы Галуа данного расширения (более того, теорема явным образом задаёт это соответствие).
Описание соответствия
Для данного конечного расширения <math>E\supset F</math> соответствие устроено следующим образом:
- Для любой подгруппы <math>H</math> группы Галуа соответствующее ей промежуточное поле, обычно обозначаемое <math>E^H</math>, — это множество тех элементов поля <math>E</math>, которые являются неподвижными точками каждого автоморфизма из <math>H</math>, с индуцированными из <math>E</math> операциями.
- Для любого промежуточного поля соответствующая ему подгруппа состоит из тех автоморфизмов, которые действуют тождественно на этом промежуточном поле.
Например, поле <math>E</math> соответствует тривиальной подгруппе, а <math>F</math> — всей группе (так как все автоморфизмы из группы Галуа сохраняют меньшее поле, а для любого другого элемента существует автоморфизм, действующий на нём нетривиально).
Свойства соответствия
Данное соответствие обладает несколькими полезными свойствами. В частности, оно обращает порядок по включению: для подгрупп группы Галуа условие <math>H_1\subseteq H_2</math> равносильно <math>E^{H_2}\subseteq E^{H_1}</math>. Кроме того, поле <math>E^H</math> является нормальным расширением <math>F</math> (или, эквивалентно, расширением Галуа, так как каждое подрасширение сепарабельного расширения сепарабельно) тогда и только тогда, когда <math>EH</math> — нормальная подгруппа группы Галуа. Факторгруппа по ней изоморфна группе Галуа расширения <math>E^H\supset F</math>.
Пример
Рассмотрим поле <math>\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)</math>. Каждый его элемент можно записать в виде
- <math>a + b\sqrt 2 + c\sqrt 3 + d(\sqrt 2 \cdot \sqrt 3),</math>
где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> — рациональные числа. Рассмотрим автоморфизмы расширения <math>\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3) \supset \mathbb Q</math>. Поскольку это расширение порождается <math>\sqrt 2</math> и <math>\sqrt 3</math>, любой автоморфизм однозначно определяется их образами. Автоморфизмы любого расширения могут только переставлять местами корни многочлена над меньшим полем, следовательно, в данном случае все возможные нетривиальные автоморфизмы — это перестановка <math>\sqrt 2</math> и <math>-\sqrt 2</math> (обозначим этот автоморфизм <math>f</math>), перестановка <math>\sqrt 3</math> и <math>-\sqrt 3</math> (автоморфизм <math>g</math>) и их композиция <math>fg</math>. Более точно, эти преобразования задаются следующим образом:
- <math>f(a + b\sqrt 2 + c\sqrt 3 + d\sqrt 6) = a - b\sqrt 2 + c\sqrt 3 - d\sqrt 6,</math>
- <math>g(a + b\sqrt 2 + c\sqrt 3 + d\sqrt 6) = a + b\sqrt 2 - c\sqrt 3 - d\sqrt 6.</math>
Очевидно, что эти отображения действуют биективно и переводят сумму в сумму, следовательно, для проверки равенства <math>f(ab) = f(a) \cdot f(b)</math> достаточно проверить его на парах базисных элементов, что также тривиально. Таким образом, группа Галуа данного расширения — четверная группа Клейна:
- <math>G = \{1, f, g, fg\}.</math>
Она имеет три нетривильные подгруппы:
- автоморфизмы из подгруппы <math>\{1, f\}</math> сохраняют элементы промежуточного поля <math>\Q(\sqrt 3)</math>;
- автоморфизмы из <math>\{1, g\}</math> сохраняют <math>\Q(\sqrt 2)</math>;
- автоморфизмы из <math>\{1, fg\}</math> сохраняют <math>\Q(\sqrt 6)</math>.
Приложения
Основная теорема сводит вопрос существования промежуточных полей к вопросу о существовании подгрупп некоторой конечной группы (так как порядок группы Галуа равен размерности расширения), многие задачи теории Галуа решаются простым применением основной теоремы.
Например, вопрос о разрешимости уравнения в радикалах обычно формулируют так: можно ли выразить корни данного многочлена через его коэффициенты, используя только арифметические операции и операцию взятия корня <math>n</math>-й степени. На языке теории полей этот вопрос можно сформулировать так: рассмотрим поле <math>F</math>, порождённое коэффициентами многочлена, и поле <math>E</math>, полученное присоединением его корней. Спрашивается, существует ли такая цепочка промежуточных полей
- <math>E = K_n \supset K_{n-1} \supset \ldots \supset K_1 \supset K_0 = F,</math>
что <math>K_{i+1} = K_i(\alpha)</math>, где <math>\alpha</math> — корень уравнения <math>x^n - a,\ a \in K_i</math>, причём поле <math>K_i</math> содержит все корни уравнения <math>x^n - 1</math>. В этом случае можно доказать, что соответствующий ряд подгрупп группы Галуа обладает тем свойством, что факторгруппа <math>G_i / G_{i+1}</math> существует и является циклической. Группы, для которых существует хотя бы один ряд с таким свойством, называются разрешимыми, таким образом, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.
Такие теории, как теория Куммера и теория полей классов, основываются на основной теореме теории Галуа.
Литература
- Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
- P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.
- Шаблон:Книга
