Русская Википедия:Остаточно конечная группа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Остаточно конечная или финитно аппроксимируемая группа — группа <math>G</math> такая, что для любого элемента <math> g \ne 1 </math> найдётся гомоморфизм <math>h\colon G\to F</math> в конечную группу <math>F</math>, удовлетворяющий условию <math>h(g)\ne 1</math>.

Примеры

• Любая конечная группа остаточно конечна;
• Любая свободная группа остаточно конечна;
• Любая конечно порождённая нильпотентная группа остаточно конечна;
• Фундаментальная группа 3-мерного многообразия остаточно конечна;
• Группа Баумслага — Солитера <math>BS(m,n)</math> остаточно конечна тогда и только тогда когда <math>|m|=1</math>, <math>|n|=1</math>, или <math>|m|=|n|</math>.

Свойства

• Теорема Мальцева. Всякая конечно порождённая подгруппа общей линейной группы является остаточно конечной.
• Подгруппа остаточно конечной группы является остаточно конечной.
• Прямое произведение остаточно конечных групп является остаточно конечным.
• Обратный предел остаточно конечных групп является остаточно конечным.
  • В частности, проконечные группы являются остаточно конечными.
• Любая конечно порожденная остаточно конечная группа является хопфовой, то есть не имеет собственных факторгрупп, изоморфных ей самой.