Русская Википедия:Осцилляции Шубникова — де Хааза в графене

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Графен Осцилляции Шубникова — де Хааза в графене (в русском языке также распространено написание Осцилляции Шубникова — де Гааза) впервые наблюдали в 2005 году. Эффект заключается в периодическом изменении сопротивления или проводимости электронного или дырочного газа как функции обратного магнитного поля. Он связан с осциллирующим поведением плотности состояний в магнитном поле.

Период осцилляций

Энергия дираковских безмассовых фермионов в магнитном поле пропорциональна корню из магнитного поля и при заполнении релятивистских уровней Ландау s и s + 1 можно записать для электронов на уровне Ферми (<math>\varepsilon_F</math>) следующие соотношения:

<math>\varepsilon_F = \hbar\omega_c^s\sqrt{s},</math>

<math>\varepsilon_F = \hbar\omega_c^{s+1}\sqrt{s+1},</math>

где «циклотронная частота» <math>\omega_c^s = \sqrt{2}\frac{v_F}{l_{B_s}} = v_F\sqrt{\frac{2eB_s}{\hbar}}</math>, а магнитная длина <math>l_{B_s} = \sqrt{\frac{\hbar}{eB_s}}</math>, <math>s</math> — натуральное число 1, 2, 3, …, <math>v_F</math> — фермиевская скорость, <math>\hbar</math> — постоянная Планка, <math>e</math> — элементарный заряд, <math>B_s</math> — магнитное поле, соответствующее s-му уровню Ландау. Концентрация электронов без магнитного поля равна <math>n = \frac{g_s g_v \varepsilon_F^2}{4\pi\hbar^2 v_F^2}</math>. Используя это соотношение при условии, что магнитное поле не изменяет уровень Ферми (например он зафиксирован по внешним причинам), получим

<math>\pi\hbar^2n = \frac{\varepsilon_F^2}{v_F^2} = 2seB_s\hbar,</math>

или

<math>s = \frac{\pi\hbar n}{2eB_s},</math>

<math>s + 1 = \frac{\pi\hbar n}{2eB_{s + 1}}.</math>

Вычитая из последнего равенства предпоследнее, найдём соотношение для периода осцилляций <math>\Delta B_s^{-1}</math>:

<math>1 = \frac{\pi\hbar n}{2e}\left(\frac{1}{B_{s + 1}} - \frac{1}{B_s}\right) = \frac{\pi\hbar n}{2e}\Delta B_s^{-1}.</math>

Здесь можно определить концентрацию носителей через период:

<math>n = \frac{2e}{\pi\hbar\Delta B_s^{-1}}</math>

или фундаментальную частоту <math>B_F</math>

<math>n = \frac{2e}{\pi\hbar}B_F.</math>

Эта формула аналогична формуле для концентрации двумерного электронного газа в инверсионных слоях кремния (100).

Теория Гусынина — Шарапова

В статье Гусынина и Шарапова показано, что осциллирующую часть продольной компоненты тензора проводимости можно записать в виде

<math>\sigma_\text{osc} = \frac{4e^2|\mu|}{\pi}\frac{(\mu^2 - \Delta^2 + \Gamma^2)\Theta(\mu^2 - \Delta^2 - \Gamma^2)}{(\hbar v_F^2eB)^2 + (2\mu\Gamma)^2}\sum_{k=1}^\infty \cos\left(\frac{\pi k(\mu^2 - \Delta^2 - \Gamma^2)}{\hbar v_F^2eB}\right) R_T(k,\mu) R_D(k,\mu),</math>

где <math>\mu</math> — химический потенциал, <math>\Delta</math> — ширина запрещённой зоны (в случае графена равна нулю), <math>\Gamma</math> — ширина уровня Ландау (не зависит от магнитного поля и температуры), <math>\Theta(x)</math> — ступенчатая функция, амплитудный температурный множитель равен

<math>R_T(k,\mu) = \frac{2\pi^2kT\mu/\hbar v_F^2eB}{\sinh(2\pi^2kT\mu/\hbar v_F^2eB)},</math>

а множитель Дингля

<math>R_D(k,\mu) = \exp\left(\frac{-2\pi k|\mu|\Gamma}{\hbar v_F^2eB}\right).</math>

Формула описывает осцилляции Шубникова — де Гааза не очень близко к точке электронейтральности. В окрестностях самой точки осцилляции магнетопроводимости отсутствуют. При больших концентрациях носителей можно пренебречь шириной запрещённой зоны и уширением уровней Ландау (<math>\mu^2 \gg \Delta^2 + \Gamma^2</math>), и частота осцилляций по обратному магнитному полю совпадает с формулой, полученной ранее.