Русская Википедия:Открытые математические проблемы

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:

Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большая часть проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.

Теория чисел

Шаблон:Main

Геометрия

  • 12 нерешённых задач из списка Верника о построении треугольника по трём отмеченным особым точкам[2].
  • В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).
  • На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?[3][4]
  • Существует ли такая константа <math>A</math>, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь <math>A</math>, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?[5]
  • Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?[6]
  • Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?[7][8]
  • Найдётся ли на плоскости точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин единичного квадрата рационально?[8][9]
  • Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
  • У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?[10]
  • Даны положительные действительные числа <math>S_0,\;\ldots,\;S_n</math>. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам?Шаблон:Нет АИ
  • Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?[11]
  • При каком минимальном <math>V</math> любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма <math>V?</math>[12]
  • Чему равно хроматическое число <math>n</math>-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости. Другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет (Проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера).
  • Задача Томсона. Как разместить <math>n</math> одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для <math>n=2,\;3,\;4,\;6,\;12</math>)[13]. Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из <math>n</math> точек?
  • Как разместить <math>n</math> точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?[14]
  • Для каждой пары натуральных чисел <math>(n,\;k)</math> найти такое наименьшее действительное число <math>d(n,\;k)</math>, что любое множество единичного диаметра в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве можно разбить на <math>k</math> подмножеств диаметром не больше <math>d(n,\;k)</math>. Задача решена только в нескольких частных случаях[15][16].
  • Чему равна площадь множества Мандельброта, и где на оси абсцисс расположен его центр масс? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08[17].
  • Задача со счастливым концом. При каком минимальном <math>m</math> среди любых <math>m</math> точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого <math>n</math>-угольника, и верно ли, что <math>m=1+2^{n-2}</math>? Решение известно только для <math>n<7</math>. Результат для <math>n=6</math> (который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
  • Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Вана, которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 11[18].
  • В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?[19]
  • Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году[20][21][22].
  • Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1?Шаблон:Нет АИ
  • Гипотеза Боннесена — Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?[23][24][25]
  • Cуществует ли для каждого многоугольника и <math>\epsilon > 0</math> такой многоугольник, все вершины которого расположены на расстоянии, меньшем чем <math>\epsilon</math> от соответствующих вершин начального многоугольника и все стороны и диагонали которого имеют рациональную длину?Шаблон:Sfn

Задачи упаковки

  • Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса <math>R</math>?[26]
  • Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?[27]
  • Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?[27]

Многомерные пространства

  • Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью <math>n>4</math>? Эта задача решена лишь для <math>n=8</math> (240) и <math>n=24</math> (196 560)[28][29].
  • Задача плотнейшей упаковки шаров в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве для <math>n>3</math>. Для трёхмерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было доказано, что гипотеза Кеплера справедлива. Однако, существующее доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки[30]. Доказано также, что для <math>n=8</math> и <math>n=24</math> решётки кроме контактного числа реализуют также и плотнейшую упаковку шаров.
  • Гипотеза Борсука. Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в n-мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем <math>n+1</math> часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1? Опровергнута для пространств размерности больше 63, доказана для пространств размерности меньше 4, для 4 ≤ n ≤ 63 проблема не решена.

Механика

  • Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?[6]
  • Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?
  • Двенадцать нерешённых геометрических вопросов, связанных с задачами механики помещены в книге [31].

Алгебра

  • Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы <math>H</math> существует поле алгебраических чисел <math>\mathbf{F}</math> такое, что <math>\mathbf{F}</math> является расширением поля рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> и <math>\mathrm{Gal}(\mathbf{F}/\mathbb{Q})</math> изоморфна <math>H</math>.Шаблон:Нет АИ
  • Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно[32].
  • Существует ли простая группа, которая не является трансфинитно сверхпростой?[33]
  • Является ли кольцо периодов полем?
  • Проблема О. Ю. Шмидта Существуют ли не квазициклические группы, все собственные подгруппы (подгруппы, отличные от единичной и всей группы) которых конечны?[34]
  • Проблема Л. С. Понтрягина Пусть <math>G</math> — эффективная транзитивная бикомпактная группа преобразований пространства <math>\Gamma</math>, гомеоморфного <math>n</math> — мерной сфере. Существует ли такое гомеоморфное отображение пространства <math>\Gamma</math> на единичную сферу <math>S^{n}</math> евклидова <math>(n+1)</math> — мерного пространства, при котором группа <math>G</math> переходит в некоторую группу движений сферы <math>S^{n}</math>?[35].
  • Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия группоидов, колец и решёток, достижимых на классах всех группоидов, всех колец или решёток?[36].
  • Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия и квазимногообразия полугрупп c несколькими выделенными элементами, колец и решёток, достижимых на классе всех таких полугрупп[36].
  • Существуют ли во множестве групп операции, отличные от операций прямого и свободного умножения и обладающие их основными свойствами?Шаблон:Sfn
  • Будет ли множество всех неизоморфных абелевых групп данной мощности <math>M</math> иметь мощность <math>{2}^{M}</math>?Шаблон:Sfn
  • Проблема А. И. Мальцева Существует ли такая счётная группа, что всякая счётная группа изоморфна одной из её подгрупп?Шаблон:Sfn
  • Проблема отыскания всех гиперкомплексных систем с делением не решена до концаШаблон:Sfn.
  • Несколько десятков нерешённых алгебраических задач есть в книгеШаблон:Sfn.
  • Отсутствует полное описание множества общезначимых формул на алгебраических системах. Неизвестно, замкнуто ли множество <math>S</math> относительно дополнения в множестве <math>\omega</math>Шаблон:Sfn
  • Формулировки <math>50</math> нерешенных проблем теории бесконечных абелевых групп приведены в книгеШаблон:Sfn

Коуровская тетрадь

Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешённых задач в области теории групп. Издаётся с 1965 года с периодичностью в 2—4 года. Выпускается на русском и английском языках[37][38][39].

Днестровская тетрадь

Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей[40].

Свердловская тетрадь

Представляет собой сборник нерешённых задач теории полугрупп[41][42].

Эрлагольская тетрадь

Представляет собой сборник нерешённых задач алгебры и теории моделей[43].

Анализ

Вопросы иррациональности

Комбинаторика

Шаблон:Seealso

Комбинаторная геометрия

Теория графов

Шаблон:Seealso

  • Гипотеза Каццетты — Хаггвиста — ориентированный граф, имеющий <math>n</math> вершин, из каждой вершины которого выходит не менее <math>m</math> рёбер, имеет замкнутый контур длиной не более <math>\left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil</math>[61].
  • Гипотеза Хадвигера (теория графов) — каждый <math>n</math>-хроматический граф стягиваем к полному графу <math>K_n</math>Шаблон:Sfn.
  • Гипотеза Улама:Шаблон:Sfn
    • а) всякий граф более чем с двумя вершинами однозначно определяется набором графов, где каждый граф из набора получен удалением одной из вершин исходного графа;
    • б) всякий граф более чем с тремя вершинами однозначно определяется множеством графов, где каждый граф из множества получен удалением одной из вершин исходного графа.
  • Гипотеза Харари (слабая форма гипотезы Улама) — если граф имеет более трёх рёбер, то его можно однозначно восстановить по подграфам, полученным удалением единственного ребраШаблон:Sfn.
  • В любом кубическом графе можно выбрать 6 1-факторов так, чтобы каждое ребро принадлежало ровно двум из них.
  • Гипотеза Рамачандрана — любой орграф <math>N</math>-реконструируемШаблон:Sfn.
  • Гипотеза о восстановлении — если заданы классы изоморфизма всех <math>k</math> примарных подграфов некоторого графа, то при <math>k \geqslant 3</math> класс изоморфизма этого графа определяется однозначноШаблон:Sfn.
  • Гипотеза Конвея о трекле — в любом трекле (сеть, в котором каждые два ребра имеют общую точку) число линий меньше или равно числу точекШаблон:Sfn.
  • Гипотеза Рингеля — Коцига — все деревья являются грациозными.
  • Гипотеза о двойном покрытии циклами — для любого графа без мостов существует мультимножество простых циклов, покрывающих каждое ребро графа в точности два раза.
  • Проблема Кёнига — какие условия необходимы и достаточны, чтобы для заданной на множестве <math>V</math> группы подстановок <math>\Gamma</math> существовал такой граф <math>G</math> с множеством вершин <math>V</math>, что <math>Aut G = \Gamma</math>Шаблон:Sfn
  • Большое количество нерешённых проблем теории графов есть в статье[62].
  • Гипотеза Барнетта — любой бикубический полиэдральный граф является гамильтоновым.

Теория узлов

Теория алгоритмов

Шаблон:Seealso

Вопросы алгоритмической разрешимости

Шаблон:Main

  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений степени 3: существует ли алгоритм, позволяющий по любому диофантовому уравнению степени 3 определить, имеет ли оно решения?
  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах. Как узнать по произвольному диофантову уравнению, разрешимо ли оно в рациональных (не обязательно целых) числах и можно ли это узнать вообще (то есть возможен ли соответствующий алгоритм)?[64][65][66]
  • Алгоритмическая разрешимость проблемы умирающей матрицы для матриц порядка 2. Существует ли алгоритм, позволяющий для данного конечного множества квадратных матриц <math>2\times 2</math> определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу[67].
  • Расширение класса выражений, для которых известен алгоритм, определяющий, равно ли выражение нулю ([[|en]] (Constant problem)). Для каких классов выражений эта задача алгоритмически неразрешима?
  • Существует ли алгоритм, позволяющий узнать по целочисленной матрице, существует ли её степень, имеющая нуль в правом верхнем углу?[66]
  • Вопрос равенства двух элементов кольца периодов. Существует ли алгоритм, позволяющий по двум заданным полиномиальным системам неравенств на конечное число переменных с рациональными коэффициентами определить, одинаковую ли площадь имеют ограниченные ими области в <math>{\mathbb R}^n</math>?

Теория сложности вычислений

Шаблон:Seealso

Другие проблемы теории алгоритмов

  • [[|en]] (Busy beaver)[70]. Сколько ходов может продержаться (незацикливающаяся) машина Тьюринга с <math>n</math> состояниями и алфавитом <math>\{0,\;1,\;2,\;...,\;m\}</math> на заполненной нулями ленте? Сколько ненулевых символов она напечатает? Известно, что нет алгоритма (а значит, и рекурсивно аксиоматизируемой формальной теории), который может решить этот вопрос для всех <math>n</math>, что обе функции растут быстрее любой вычислимой функции, и пока известны только значения для <math>n<5</math>[71].
  • Существует ли алгоритм, распознающий для любых двух трёхмерных многообразий, заданных своими триангуляциями, гомеоморфны ли они?[66]
  • Существует ли алгоритм, распознающий по произвольной позиции игры «Жизнь», «вымрет» ли она (станут ли в итоге все клетки пустыми)?[66]
  • Существует ли теорема о полноте для решётки Мучника?[66]
  • Существует ли алгоритм, определяющий разрешимость и арифметичность множества реализуемых и множества неопровержимых пропозициональных формул?[66]
  • Существуют ли в обычных алгебраических системах алгебраически корректные массовые проблемы различной сложности?[66]
  • Существует ли алгебраическая система, для которой равномерная эквивалентность отличается от программной или программная от проблемной?[66]
  • Восемь нерешенных задач теории алгоритмов сформулировано в книгеШаблон:Sfn.

Аксиоматическая теория множеств

  • В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.
  • Проблема Скулема. Рассмотрим множество <math>S</math> функций одного натурального переменного <math>n</math>, построенных из термов <math>1, n</math> и замкнутых относительно сложения, умножения и возведения в степень. Для функций <math>f,\;g</math> из этого множества будем писать <math>f \preccurlyeq g</math>, если <math>f(n) \leqslant g(n)</math> выполняется для всех достаточно больших <math>n</math>. Известно, что отношение <math>\preccurlyeq</math> вполне упорядочивает множество <math>S</math>. Какой ординал соответствует этому упорядочению? (Известно, что он не меньше чем <math>\varepsilon_0</math> и не больше чем первый критический ординал (ординал Кантора) <math>\zeta_0 = \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}}</math>)[72][73] Аналогичные вопросы возникают при добавлении в множество разрешённых операторов дополненная тетрации, пентации и гипероператоров более высоких порядков (проблема Скулема, дополненная только тетрацией, была решена в 2010 году)[74][75].
  • Существует ли линейно упорядоченное множество с en (Order type) <math>\alpha</math>, удовлетворяющим условиям <math>\alpha\neq\alpha^2</math> и <math>\alpha=\alpha^3</math>?[76]
  • В теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора неизвестно, существуют ли регулярные кардиналы <math>\aleph_{\alpha}</math>, большие <math>\aleph_{0}</math> Шаблон:Sfn.
  • Проблема сингулярных кардиналов. Для каких функций <math>G(k)</math> существует модель Цермело — Френкеля, в которой <math>k^{cf(k)} = G(k)</math> для всех кардиналов <math>k</math>Шаблон:Sfn.
  • Верно ли, что если непротиворечива система аксиом Цермело — Френкеля вместе с аксиомой выбора, то непротиворечива система аксиом Цермело — Френкеля, принцип зависимого выбора и каждое множество действительных чисел есть измеримое по Лебегу множество?Шаблон:Sfn
  • Не приведёт ли к противоречию предположение существования таких кардинальных чисел <math>\mathfrak{m} > \aleph_{0}</math>, что декартово произведение m-компактных пространств всегда m-компактно. Неизвестно также, совпадало бы наименьшее из этих чисел с наименьшим измеримым числом или нетШаблон:Sfn.
  • По проблеме континуума известны лишь теорема Гёделя (континуум-гипотеза не может быть опровергнута на основе аксиом арифметики и теории множеств) и теорема Коэна (континуум-гипотеза не может быть доказана на основе аксиом арифметики и теории множеств). Законченная теория по проблеме континуума отсутствует.[77]
  • Проблема континуума разрешима в языке второго порядка теории множеств, но её решение там неизвестно.[77]
  • Неизвестно доказательство непротиворечивости евклидовой геометрииШаблон:Sfn
  • Неизвестно доказательство непротиворечивости системы действительных чиселШаблон:Sfn
  • Существуют ли измеримые кардинальные числа?Шаблон:Sfn

Теория доказательств

Шаблон:Seealso

  • Какое самое короткое неразрешимое утверждение существует в арифметике Пеано?[78] Неразрешимое утверждение теории — это утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в данной теории. Доказательства теорем Гёделя демонстрируют, как можно строить такие утверждения, но получающиеся утверждения оказываются весьма значительного размера, будучи записанными на формальном языке арифметики.
  • Формулировки шести нерешённых задач теории доказательств есть в книгеШаблон:Sfn

Вычислительная математика

Дифференциальные уравнения

<math>\ddot x - \lambda (1-x^2)\dot x + \omega ^ 2 x = 0</math>
<math>\ddot x + \omega^{2} x = - \mu x \cos 2t</math>
  • Гипотеза Абловица — Рамани — Сегура. Все обыкновенные дифференциальные уравнения, полученные из полностью интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных, обладают свойством Пенлеве (положение любой алгебраической, логарифмической или существенной особенности решений уравнения не зависит от начальных условий, от произвольных констант интегрирования зависит только положение полюсов)Шаблон:Sfn.
  • Имеет ли гамильтонова система, интегрируемая по Лиувиллю, эквивалентную формулировку с помощью лаксовой пары, и если имеет, то как её построить?Шаблон:Sfn
  • Отсутствует общая теория дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа Шаблон:Sfn.

Теория вероятностей

Шаблон:Seealso

  • Неизвестны необходимые и достаточные условия принадлежности безгранично делимого закона распределения случайной величины в одномерном и многомерном случаях к классу законов, не имеющих неразложимых компонент[80].
  • Неизвестна точная аналитическая формула для вероятностного распределения площадей фигур, определяемых случайными прямыми на плоскостиШаблон:Sfn.
  • Шаблон:Якорь2: пусть <math>\xi</math> и <math>\eta</math> - независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение <math>N(0, 1)</math>. <math>f(x)</math> - измеримая неотрицательная функция. Известно, что случайная величина <math>\xi + f(\xi)\eta</math> имеет нормальное распределение. Следует ли отсюда, что <math>f(x)</math> почти всюду постоянна?Шаблон:Sfn
  • Неизвестны многомерные обобщения теоремы Титчмарша — ПойиШаблон:Sfn.

Уравнения математической физики

Шаблон:Seealso

  • Отсутствует строгое математическое обоснование метода континуального интегрирования в квантовой теории поля[81][82].
  • Континуальные интегралы удаётся вычислить только для случая гауссовых квадратур. В общем случае способ вычисления континуальных интегралов неизвестен[83][82].
  • Неизвестно точное решение уравнения Шрёдингера для многоэлектронных атомов[84].
  • В квантовой механике при решении задачи о рассеянии двух пучков на одном препятствии сечение рассеяния получается бесконечно большим[85]
  • Уравнения Навье — Стокса. Существует ли гладкое решение уравнения Навье-Стокса в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени?Шаблон:Sfn
  • Уравнение Эйлера. Существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени?Шаблон:Sfn
  • В гидродинамике есть сотни нерешённых задач[86].
  • Отсутствует законченная теория, объясняющая происхождение и эволюцию магнитного поля ЗемлиШаблон:Sfn.
  • Гипотеза Йоргенса Пусть <math>M \subset R^{n}</math> — открытое множество, дополнение которого имеет меру нуль. Пусть <math>V</math> и <math>W</math> непрерывны на <math>M</math> и оператор Шрёдингера <math>-\Delta+V</math> ограничен снизу и самосопряжён в существенном на <math>C_{0}^{\infty}(M)</math>. Если <math>W \geqslant V</math>, то <math>-\Delta+W</math> также самосопряжён в существенном на <math>C_{0}^{\infty}(M)</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
  • Можно ли обобщить систему аксиом Хаага — Кастлера путём использования вместо принципа инвариантности относительно группы Пуанкаре принципа общей ковариантности?[82]
  • Квантование полей Янга — МиллсаШаблон:Sfn.
  • Неизвестна точная формула для вычисления постоянной МаделунгаШаблон:Sfn.
  • Неизвестно точное решение задачи Изинга в трёхмерном случаеШаблон:Sfn.
  • Неизвестны точные формулы для силы отталкивания между остатками атомов в ионном кристаллеШаблон:Sfn.
  • Неизвестно доказательство принципа космической цензуры, а также точная формулировка условий, при которых он выполняетсяШаблон:Sfn.
  • Отсутствует полная и законченная теория магнитосферы чёрных дырШаблон:Sfn.
  • Неизвестна точная формула для вычисления числа различных состояний системы, коллапс которой приводит к возникновению чёрной дыры с заданными массой, моментом количества движения и зарядомШаблон:Sfn.
  • Неизвестно доказательство в общем случае «теоремы об отсутствии волос» у чёрной дырыШаблон:Sfn.
  • Отсутствует общая теория корректных краевых условий для обобщённых дифференциальных операторов с переменными коэффициентамиШаблон:Sfn.
  • Неизвестно общее доказательство, что ряд теории возмущений для электронов в зоне проводимости металлов сходитсяШаблон:Sfn.
  • Не удаётся удовлетворительно рассчитать эффективную массу электронов при движении в магнитном поле в металлах по Ферми-поверхностиШаблон:Sfn и для электронной теплоёмкостиШаблон:Sfn.
  • Неизвестен метод расчёта структурных факторов для жидких металловШаблон:Sfn.
  • Существуют ли дифференциальные уравнения в частных производных, отличные от обычного волнового уравнения, но решения которых удовлетворяют принципу Гюйгенса?Шаблон:Sfn
  • Основная проблема аксиоматической квантовой теории поля. Неизвестна теория, удовлетворяющая всем аксиомам аксиоматической квантовой теории поля и описывающая взаимодействующие поля и нетривиальную матрицу рассеянияШаблон:Sfn.
  • Неизвестно описание класса обобщённых функций <math>F_{4}</math>, удовлетворяющих условию для двухточечной функции УайтманаШаблон:Sfn:<math>\int \int \int f(x_{2}, x_{1})f(x_{3}, x_{4})F_{4}(x_{1} - x_{2}, x_{2} - x_{3}, x_{3} - x_{4})\prod^{4}_{i=1}d^{4}x_{i} \geqslant 0</math>.
  • Неизвестно доказательство эргодической гипотезы для произвольных динамических системШаблон:Sfn.
  • Неизвестно решение задачи сращивания решений уравнения Больцмана по обе стороны от ударного слоя по теории Чепмена-ЭнскогаШаблон:Sfn.
  • Необходимые и достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы до сих пор не найденыШаблон:Sfn.
  • Неизвестен способ последовательного проведения перенормировочной процедуры, основанной на инвариантной регуляризации, при операторном подходе к квантованию гравитационного поляШаблон:Sfn.

Теория игр

Шаблон:Seealso

  • Отсутствует общая математическая теория игр, проводимых на пространстве функций (поскольку мощность множества действительных функций существенно превышает мощность континуума)[87].
  • Отсутствует общая математическая теория псевдоигр (конфликтных ситуаций, не являющихся играми)[87].
  • Отсутствует общая математическая теория некооперативных игр <math>n</math> лиц для <math>n > 2</math>[87].
  • Формулировки <math>8</math> нерешённых проблем теории игр есть в книге Шаблон:Sfn.
  • Не решена задача построения алгоритмов обучения решению игр, когда элементы платёжной матрицы не постоянны, а представляют собой случайные величины, либо неизвестны (игра вслепую)Шаблон:Sfn.

Теория представлений групп

  • Гипотеза Ленглендса. Любое неприводимое представление вещественной полупростой группы Ли <math>G</math>, входящее в дискретную часть разложения регулярного представления, реализуется в пространстве <math>L^2</math> — когомологий подходящего пучка на пространстве <math>X = G/H</math>, где <math>H</math> — компактная картановская подгруппа в <math>G</math>[88].

Общая топология

Линейная алгебра

Шаблон:Seealso

  • Проблема Фреше о максимуме определителя Найти максимум определителя <math>\Delta_{n} = \det \| \varepsilon_{ij} \|\ (i,\;j = 1,\; 2,\;\ldots,\; n),</math> где все <math>\varepsilon_{ij}</math> равны <math>\pm 1</math>. Известны лишь оценки <math>\sqrt{n!} \leqslant \max \mid \Delta_{n} \mid \leqslant n^{\frac{n}{2}}</math>Шаблон:Sfn.

Теория случайных процессов

Шаблон:Seealso

  • Задача определения закона распределения <math>p(n,\;T)</math> числа выбросов случайного процесса в общем случае не имеет законченного и компактного решенияШаблон:Sfn.
  • Задача определения закона распределения абсолютных максимумов случайного процесса решена только для марковских процессов. Для остальных процессов точное решение неизвестноШаблон:Sfn.
  • Пусть частица блуждает в пространстве <math>Z^n</math>: выходит из <math>0</math> и в дискретные моменты времени <math>1, 2, ...</math> совершает с вероятностью <math>p = \frac{1}{2^n}</math> единичный скачок в одну из <math>2^n</math> соседних точек. Какова вероятность того, что после <math>k</math> шагов траектория частицы ни разу не пересекала себя? Каково математическое ожидание расстояния конца несамопересекающейся траектории от начала координат?Шаблон:Sfn
  • Проблема Колмогорова: Имеется семейство <math>f_{j}(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_{j-1}), j \in \left \{ 2, 3, ..., k \right \}</math> (в общем случае комплекснозначных) интегрируемых функций. Какие условия (эффективно проверяемые) необходимо наложить на эти функции, чтобы для некоторого случайного поля <math>\xi(t) \in D^{(k)}</math> при <math>t \in R^n, \lambda_j \in R^n, i=\bar{1, j-1}</math> или при <math>t \in Z^n, \lambda_i \in \left [ -\pi, \pi \right ], i=\bar{1, j-1}</math> эти функции были спектральными плотностями <math>j</math>-го порядка, <math>j \in \left \{ 2, 3, ..., k \right \}</math>?Шаблон:Sfn

Функциональный анализ

  • Список из 22 нерешённых задач теории операторов в банаховом пространстве есть в книгеШаблон:Sfn.
  • Список из 6 нерешённых задач теории эллиптических операторов в комплексных аналитических многообразиях есть в книгеШаблон:Sfn.
  • Существует ли в каждом банаховом пространстве бесконечномерное подпространство с безусловным базисом?[93]
  • В книге сформулированы <math>30</math> нерешённых проблем функционального анализаШаблон:Sfn.
  • Возможно ли обобщить теорему Коши-Ковалевской на уравнения в частных функциональных производных?Шаблон:Sfn

Теория динамических систем

  • Неизвестно, является ли система из двух и более твёрдых бильярдных шаров К-потоком при несингулярных взаимодействияхШаблон:Sfn.
  • Существует ли универсальный сценарий перехода динамических систем к хаосу? Шаблон:Sfn
  • Возможно ли описание процесса усложнения хаоса в терминах бифуркаций? Шаблон:Sfn


Риманова геометрия

  • Проблема Хопфа Существует ли на дифференцируемом многообразии <math>S^{2} \times S^{2}</math> риманова метрика положительной кривизны?[94].

Исследование операций

Шаблон:Seealso

  • Не существует комбинаторного метода решения целочисленных задач линейного программирования с полиномиальной (в отличие от экспоненциальной) оценкой трудоёмкости?[95].
  • Отсутствует общая теория алгоритмических методов оптимизации, позволяющая обеспечить ускорение сходимости и выбор шага итерации в общем случае многошаговых алгоритмовШаблон:Sfn.
  • Неизвестны условия сходимости почти наверное в область для многошаговых алгоритмов адаптации и обученияШаблон:Sfn.
  • Неизвестны правила определения момента установления стационарности алгоритма адаптации и обученияШаблон:Sfn.
  • Неизвестны оценки зависимости точности аппроксимации от числа функций и оценки времени обучения для алгоритмов опознаванияШаблон:Sfn.
  • Неизвестны общие способы получения несмещённых оценок при заданном критерии оптимальности в задачах идентификацииШаблон:Sfn.
  • Неизвестны общие правила выбора системы функций в задачах фильтрацииШаблон:Sfn.
  • Неисследована связь между скоростью изменения внешних воздействий и длительностью процесса адаптации фильтраШаблон:Sfn.
  • Неизвестны способы использования априорной информации о распределениях случайных величин для построения адаптивных фильтровШаблон:Sfn.
  • Неизвестен способ применения адаптивного подхода при ускоренных испытаниях на надёжностьШаблон:Sfn.
  • Отсутствует общая теория сетевого планирования с применением адаптивного подхода при недостаточной априорной информацииШаблон:Sfn.
  • Можно ли произвольную вероятностно-операторную меру реализовать посредством некоторого физического прибора?Шаблон:Sfn
  • Неизвестны методы решения оптимизационых уравнений квантовой теории принятия решений и оцениванияШаблон:Sfn.
  • Каким образом точность оценок зависит от числа наблюдений в квантовой теории оценивания?Шаблон:Sfn
  • Список из <math>20</math> нерешённых проблем теории адаптивных и обучающихся систем есть в статье[96]

Алгебраическая геометрия

Теория автоматов

Шаблон:Seealso

  • Можно ли формализовать математически способность к самовоспроизведению сотообразных структур?Шаблон:Sfn
  • Неизвестен способ определения, насколько сложной должна быть система (например, молекула), образованная из частей, для того, чтобы быть способной к самовоспроизведению и эволюции с усложнением потомства?Шаблон:Sfn
  • Может ли сотообразная структура иметь самовоспроизводящиеся конфигурации, но не иметь стираемых конфигураций?Шаблон:Sfn
  • Каким способом можно добиться, чтобы машины осуществляли самовоспроизведение не последовательно, а параллельно?Шаблон:Sfn

Вариационное исчисление

  • Формулировки более <math>20</math> нерешённых проблем вариационного исчисления, связанных с вариациями множеств и функций, приведены в книгеШаблон:Sfn.

Многомерный комплексный анализ

  • Перечисление <math>9</math> нерешённых задач многомерного комплексного анализа есть в книгеШаблон:Sfn.

Оптимальное управление

  • Подробное обсуждение <math>12</math> нерешенных проблем теории оптимального управления есть в книгеШаблон:Sfn.
  • Список <math>80</math> нерешённых задач оптимального управления сингулярными системами с распределенными параметрами есть в книгеШаблон:Sfn.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Нерешённые проблемы

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:MathWorld
  2. ↑ С.А.Беляев "Восстановление треугольника по заданным точкам"
  3. ↑ Unsolved Problem 26: Given a simple closed curve in the plane, can we always find four points on this curve that are the vertices of a square? Шаблон:Wayback Unsolved Problem of the Week Шаблон:Wayback. MathPro Press.
  4. ↑ Шаблон:MathWorld
  5. ↑ Unsolved Problem 33: Is there a constant, A, such that any set in the plane of area A must contain the vertices of a triangle with area 1? Шаблон:Wayback Unsolved Problem of the Week Шаблон:Wayback. MathPro Press.
  6. ↑ 6,0 6,1 Шаблон:Книга
  7. ↑ Unsolved Problem 22: Is there a triangle with integer sides, medians, and area? Шаблон:Wayback Unsolved Problem of the Week Шаблон:Wayback. MathPro Press.
  8. ↑ 8,0 8,1 Шаблон:MathWorld
  9. ↑ Unsolved Problem 13: Is there a point in the plane that is at a rational distance from each of the four corners of a unit square? Шаблон:Wayback Unsolved Problem of the Week Шаблон:Wayback. MathPro Press.
  10. ↑ Шаблон:MathWorld
  11. ↑ Шаблон:Cite web
  12. ↑ Шаблон:MathWorld
  13. ↑ Шаблон:Cite web
  14. ↑ Unsolved Problem 23: How should you locate 13 cities on a spherical planet so that the minimum distance between any two of them is as large as possible? Шаблон:WaybackUnsolved Problem of the Week Шаблон:Wayback. MathPro Press.
  15. ↑ Decomposing the 2-Sphere into Domains of Smallest Possible DiameterШаблон:Недоступная ссылка
  16. ↑ [[|en]] (Noga Alon), Discrete mathematics: methods and challenges Шаблон:Wayback
  17. ↑ Шаблон:Cite web
  18. ↑ Шаблон:Citation. (Показан непериодический набор из 11 плиток с 4 цветами.)}
  19. ↑ Шаблон:MathWorld
  20. ↑ Шаблон:Cite web
  21. ↑ Tobias Kreisel, Sascha Kurz, There are integral heptagons, no three points on a line, no four on a circle Шаблон:Wayback
  22. ↑ Erich Friedman, Unsolved Problems in Planar Geometry Шаблон:Wayback
  23. ↑ Шаблон:КнигаШаблон:Ref-de
  24. ↑ Шаблон:Статья
  25. ↑ Шаблон:Статья Шаблон:ArXiv
  26. ↑ Шаблон:Cite web
  27. ↑ 27,0 27,1 Шаблон:MathWorld
  28. ↑ Шаблон:Cite web
  29. ↑ Шаблон:MathWorld
  30. ↑ Шаблон:MathWorld
  31. ↑ Шаблон:Книга
  32. ↑ R. Grigorchuk, I. Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners на arXiv
  33. ↑ Шаблон:Cite arXiv
  34. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1972. — С. 30.
  35. ↑ Шаблон:Книга
  36. ↑ 36,0 36,1 Шаблон:Книга
  37. ↑ Шаблон:Книга
  38. ↑ Шаблон:Книга
  39. ↑ Шаблон:Книга
  40. ↑ Шаблон:Книга
  41. ↑ Шаблон:Книга
  42. ↑ Шаблон:Книга
  43. ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
  44. ↑ Шаблон:Книга
  45. ↑ Шаблон:MathWorld
  46. ↑ Шаблон:Статья
  47. ↑ Шаблон:MathWorld
  48. ↑ Шаблон:MathWorld
  49. ↑ Шаблон:MathWorld
  50. ↑ Шаблон:MathWorld
  51. ↑ Шаблон:Cite web
  52. ↑ Шаблон:MathWorld
  53. ↑ Шаблон:Cite web
  54. ↑ Шаблон:Cite web
  55. ↑ Шаблон:MathWorld
  56. ↑ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables (Шаблон:Isbn). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number Шаблон:Wayback
  57. ↑ 57,0 57,1 Шаблон:Книга via Wolfram Mathworld, Transcendental Number Шаблон:Wayback
  58. ↑ Шаблон:MathWorld
  59. ↑ Спринджук В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1965. — Т. 29, № 2. — С. 379—436.— URL: http://mi.mathnet.ru/izv2913
  60. ↑ Шаблон:Книга
  61. ↑ Шаблон:Cite web
  62. ↑ В. Г. Визинг Некоторые нерешенные задачи в теории графов // УМН, 23:6(144) (1968), 117–134; Russian Math. Surveys, 23:6 (1968), 125–141
  63. ↑ Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1
  64. ↑ Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done Шаблон:Wayback
  65. ↑ Шаблон:Книга
  66. ↑ 66,0 66,1 66,2 66,3 66,4 66,5 66,6 66,7 Шаблон:Книга
  67. ↑ Шаблон:Cite web
  68. ↑ Шаблон:MathWorld
  69. ↑ «Even if someone manages to prove one of the conjectures—thereby demonstrating that ω = 2—the wreath product approach is unlikely to be applicable to the large matrix problems that arise in practice. (…) the input matrices must be astronomically large for the difference in time to be apparent.»Шаблон:Citation
  70. ↑ Шаблон:Книга
  71. ↑ Шаблон:OEIS
  72. ↑ Шаблон:Cite web
  73. ↑ Шаблон:Cite web
  74. ↑ Skolem + Tetration Is Well-OrderedШаблон:Недоступная ссылка
  75. ↑ The Ordinal of Skolem + Tetration Is τ0Шаблон:Недоступная ссылка
  76. ↑ Шаблон:КнигаШаблон:Ref-en
  77. ↑ 77,0 77,1 Ю. И. Манин, Проблема континуума // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 5, ВИНИТИ, М., 1975, 5—72
  78. ↑ Шаблон:Cite web
  79. ↑ Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. — пер. с англ. — М.: «Эдиториал УРСС», 2001. — 320 с. — тир. 1000 экз. — ISBN 5-8360-0192-8. — гл. 1 «Динамика дифференциальных уравнений», 1.4 «Линейный анализ устойчивости», 1.4г «Предельные циклы». — с. 29
  80. ↑ Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972. — 479 стр. — гл. X. Нерешённые проблемы
  81. ↑ Шаблон:Книга
  82. ↑ 82,0 82,1 82,2 Ф. Дж. Дайсон, «Упущенные возможности», УМН, 35:1(211) (1980), 171—191
  83. ↑ Шаблон:Книга
  84. ↑ Г. Бете. Квантовая механика. — М.: Мир, 1965. — стр. 12.
  85. ↑ Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — стр. 114, — ISBN 5-354-00268-0.
  86. ↑ Бетяев С. К.Гидродинамика: проблемы и парадоксы Шаблон:Wayback // УФН, т. 165, 1995, № 3, с. 299—330
  87. ↑ 87,0 87,1 87,2 Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. — М.: Физматлит, 1960. — С. 224
  88. ↑ Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1978. — С. 227
  89. ↑ Келли Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968. — С. 232.
  90. ↑ Малыхин В. И. Топология и форсинг // УМН. — 1983. — Т. 38. — № 1(229). — С. 69—118.
  91. ↑ Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — С. 219.
  92. ↑ Кузьминов В. И. Гомологическая теория размерности // УМН. — 1968. — Т. 23, № 5. — С. 5. — URL: http://mi.mathnet.ru/umn5668
  93. ↑ Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М., Наука, 1972. — с. 70
  94. ↑ Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. — М.: Мир, 1971. — С. 282.
  95. ↑ ред. Моисеев Н. Н. Современное состояние теории исследования операций. — М.: Наука, 1979. — С. 289.
  96. ↑ Цыпкин Я. З. Адаптация, обучение и самообучение в автоматических системах // Автоматика и телемеханика. — 1966. — № 1. — С. 23—61. — ISSN 0005-2310. — URL: http://mi.mathnet.ru/at10991
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Открытые_математические_проблемы&oldid=10535050