Русская Википедия:Отношение эквивалентности
Шаблон:Другие значения Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.
Определение
Отношение эквивалентности (<math>\sim</math>) на множестве <math>X</math> — это бинарное отношение, для которого при любых <math>a,b,c</math> из <math>X</math> выполнены следующие условия:
- рефлексивность: <math>a \sim a</math>;
- симметричность: если <math>a \sim b</math>, то <math>b \sim a</math>;
- транзитивность: если <math>a \sim b</math> и <math>b \sim c</math>, то <math>a \sim c</math>.
Запись вида «<math>a \sim b</math>» читается как «<math>a</math> эквивалентно <math>b</math>».
Связанные определения
Классом эквивалентности <math>[a]\subset X</math> элемента <math>a \in X</math> называется подмножество элементов, эквивалентных <math>a</math>; то есть,
- <math>[a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}</math>.
Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если <math>b \in [a]</math>, то <math>[a] = [b]</math>.
Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества <math>X</math> по заданному отношению <math>\sim</math>, обозначается <math>X/{\sim}</math>.
Для класса эквивалентности элемента <math>a</math> используются следующие обозначения: <math>[a]</math>, <math>a / {\sim}</math>, <math>\overline{a}</math>.
Множество классов эквивалентности по отношению <math>\sim</math> является разбиением множества.
Примеры
- Равенство («<math>=</math>»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
- Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n).
- В евклидовой геометрии
- Отношение конгруэнтности («<math>\cong</math>»).
- Отношение подобия («<math>\sim</math>»).
- Отношение параллельности прямых («<math>\|</math>») (если считать каждую прямую параллельной самой себе).
- Эквивалентность функций в математическом анализе:
- Говорят, что функция <math>f(x)</math> эквивалентна функции <math>g(x)</math> при <math>x \rightarrow x_0</math>, если она допускает представление вида <math>f(x) = \alpha(x) g(x)</math>, где <math>\alpha(x) \rightarrow 1</math> при <math>x \rightarrow x_0</math>. В этом случае пишут <math>f(x) \sim g(x)</math>, напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при <math>x \rightarrow x_0</math>. Если <math>g(x) \ne 0</math> при <math>x \ne x_0</math>, эквивалентность функций <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> при <math>x \rightarrow x_0</math>, очевидно, равносильна соотношению <math>\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = 1</math>.
- Эквивалентность норм на векторном пространстве.
- Отношение равномощности множеств.
- Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
- Эквивалентность категорий.
- Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
- Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.
Классы эквивалентности
Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности <math>\sim</math>, обозначается символом <math>X/{\sim}</math> и называется фактормножеством относительно <math>\sim</math>. При этом сюръективное отображение
- <math> p\colon x \mapsto [x]</math>
называется естественным отображением (или канонической проекцией) <math>X</math> на фактормножество <math>X/{\sim}</math>.
Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> — множества, <math>f\colon X \to Y</math> — отображение, тогда бинарное отношение <math>x \sim y</math>, определённое правилом
- <math>x \sim y \iff f(x) = f(y), \quad x, y \in X</math>,
является отношением эквивалентности на <math>X</math>. При этом отображение <math>f</math> индуцирует отображение <math>\overline{f}\colon X/{\sim} \to Y</math>, определяемое правилом
- <math>\overline{f}([x]) = f(x)</math>
или, что то же самое,
- <math>(\overline{f}\circ p)(x) = f(x)</math>.
При этом получается факторизация отображения <math>f</math> на сюръективное отображение <math>p</math> и инъективное отображение <math>\overline{f}</math>.
См. также
- Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
- Эквиваленция — логическая операция.
- Знак равенства.
Литература
- А. И. Кострикин, Введение в алгебру. Шаблон:М.: Наука, 1977, 47—51.
- А. И. Мальцев, Алгебраические системы, Шаблон:М.: Наука, 1970, 23—30.
- Шаблон:Книга
