Русская Википедия:Отрезок
Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.
Отрезок в геометрии
В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки <math>A</math> и <math>B</math>, обозначается символом <math>AB</math>. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают <math>AB</math> или <math>|AB|</math>.
Направленный отрезок
Шаблон:Main Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки <math>AB</math> и <math>BA</math> представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным, или вектором. Например, направленные отрезки <math>AB</math> и <math>BA</math> не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.
Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.
Отрезок числовой прямой
Шаблон:Main Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел <math>\{x\}</math>, удовлетворяющих неравенству <math>a \le x \le b</math>, где заранее заданные вещественные числа <math>a</math> и <math>b</math> <math>(a<b)</math> называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа <math>x</math>, удовлетворяющие неравенству <math>a<x<b</math>, называются внутренними точками отрезка[1].
Отрезок обычно обозначается <math>[a, b]</math>:
- <math>[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}</math>.
Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.
Число <math>|a-b|=b-a</math> называется длиной числового отрезка <math>[a, b]</math>.
Стягивающаяся система сегментов
Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой <math>\{[a, b] | a, b \in \R \land a < b\}</math>.
Система сегментов обозначается <math>\{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}</math>. Подразумевается, что каждому натуральному числу <math>n</math> поставлен в соответствие отрезок <math>[a_n, b_n]</math>.
Система сегментов <math>\{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}</math> называется стягивающейся, если[2]
- каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;
- <math>\forall n \in \N \colon [a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]</math>
- соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
- <math>\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0</math>
У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.
- <math>\forall \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} ~ \exists ! c \in \R ~ \forall n \in N \colon c \in [a_n, b_n],</math> где <math>\forall</math> — квантор всеобщности.
Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности[3].
См. также
Примечания
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. - М.-Л., Гостехиздат, 1948. - с. 30-31
