Русская Википедия:Оценки Шаудера
Оценки Шаудера — оценки на норму Гёльдера решений решений линейных равномерно эллиптических уравнений в частных производных.
Получены Юлиушем Шаудером. Эти оценки используются в доказательстве Шаблон:Iw существования и регулярности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в частных производных.
Обозначения
Пусть <math>\Omega\subset \R^n</math> Суп-норма непрерывной функции <math>f\in C(\Omega)</math> определяется как
- <math>|f|_{0;\Omega} = \sup_{x\in\Omega} |f(x)|</math>
Для функции, непрерывной по Гёльдеру с показателем <math>\alpha</math>, то есть <math>f\in C^\alpha (\Omega)</math> обычная полунорма Гёльдера определяется как
- <math>[f]_{0,\alpha;\Omega} = \sup_{x,y\in \Omega} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.</math>
Сумма двух является полной нормой Гёльдера функции <math>f</math>
- <math>|f|_{0,\alpha;\Omega} = |f|_{0;\Omega} + [f]_{0,\alpha;\Omega} = \sup_{x\in\Omega} |f(x)| + \sup_{x,y\in \Omega} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.</math>
Для дифференцируемых функций u необходимо учитывать нормы высших порядков, включая производные. Норма в пространстве функций с k непрерывными производными, <math>C^k(\Omega)</math> определяется как
- <math>|u|_{k;\Omega} = \sum_{|\beta| \leq k} \sup_{x\in \Omega} |D^\beta u(x)|,</math>
где <math>\beta=(i_1,\dots,i_n)</math> обозначает мультииндекс, а <math>|\beta|=i_1+\dots+i_n</math>.
Для функций с производными k-го порядка, непрерывных по Гёльдеру с показателем <math>\alpha</math>, соответствующая полунорма определяется как
- <math>[u]_{k,\alpha;\Omega} = \sup_{\stackrel{x,y\in \Omega}{|\beta| = k}} \frac{|D^\beta u(x) - D^\beta u(y)|}{|x-y|^\alpha}</math>
что дает полную норму
- <math>|u|_{k,\alpha;\Omega} = |u|_{k;\Omega} + [u]_{k,\alpha;\Omega} = \sum_{|\beta| \leq k} \sup_{x\in \Omega} |D^\beta u(x)| + \sup_{\stackrel{x,y\in \Omega}{|\beta| = k}} \frac{|D^\beta u(x) - D^\beta u(y)|}{|x-y|^\alpha}.</math>
Для внутренних оценок нормы берутся с весами по расстоянию до границы.
- <math>d_x = d(x, \partial \Omega)</math>
в той же степени, что и производная, а полунормы берутся с весом
- <math>d_{x,y} = \min (d_x,d_y) </math>
возведённым в соответствующую степень. Результирующая взвешенная внутренняя норма функции определяется выражением
- <math>|u|^*_{k,\alpha;\Omega} = |u|^*_{k;\Omega} + [u]^*_{k,\alpha;\Omega} = \sum_{|\beta| \leq k} \sup_{x\in \Omega} |d_x^{|\beta|} D^\beta u(x)| + \sup_{\stackrel{x,y\in \Omega}{|\beta| = k}} d_{x,y}^{k+\alpha} \frac{|D^\beta u(x) - D^\beta u(y)|}{|x-y|^\alpha}.</math>
Ещё требуется норма с добавочной степенью при весах:
- <math>|u|^{(m)}_{k,\alpha;\Omega} = |u|^{(m)}_{k;\Omega} + [u]^{(m)}_{k,\alpha;\Omega} = \sum_{|\beta| \leq k} \sup_{x\in \Omega} |d_x^{|\beta|+m} D^\beta u(x)| + \sup_{\stackrel{x,y\in \Omega}{|\beta| = k}} d_{x,y}^{m+k+\alpha} \frac{|D^\beta u(x) - D^\beta u(y)|}{|x-y|^\alpha}.</math>
Формулировка
Внутренняя оценка
Рассмотрим ограниченное решение <math>u \in C^{2,\alpha}(\Omega)</math> в области <math>\Omega</math> к эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка
- <math>\sum_{i,j} a_{i,j}(x) D_i D_j u(x) + \sum_i b_i(x) D_i u(x) + c(x) u(x) = f(x)</math>
где исходный член удовлетворяет <math>f\in C^\alpha(\Omega)</math>. Предположим, что уравнение строго эллиптично, то есть существует постоянная <math>\lambda>0</math> такая что
- <math>\sum a_{i,j}(x) \xi_i \xi_j \geq \lambda |\xi|^2</math> для всех <math>x\in \Omega, \xi \in \mathbb{R}^n,</math>
а все соответствующие коэффициенты норм ограничены другой константой <math>\Lambda</math>
- <math>|a_{i,j}|_{0,\alpha;\Omega}, |b_i|^{(1)}_{0,\alpha;\Omega}, |c|^{(2)}_{0,\alpha;\Omega} \leq \Lambda.</math>
Тогда взвешенную <math>C^{2,\alpha}</math>-норму u можно оценить через суп-нормой u и норму Гёльдера f:
- <math>|u|^*_{2,\alpha;\Omega} \leq C(n,\alpha,\lambda,\Lambda) (|u|_{0,\Omega} + |f|^{(2)}_{0,\alpha;\Omega}).</math>
Граничные оценки
Пусть <math>\Omega</math> есть <math>C^{2,\alpha}</math>-гладкая область (то есть около любой точки на границе области граничная поверхность может быть реализована после соответствующего поворота координат как график <math>C^{2,\alpha}</math> функции), с граничными данными Дирихле, совпадающими с функцией <math>\phi(x)</math> что также по крайней мере <math>C^{2,\alpha}</math>. Затем с учетом тех же условий на коэффициенты, что и в случае внутренней оценки, невзвешенная норма Гёльдера для u управляется невзвешенными нормами исходного члена, граничных данных и супремум-нормы u:
- <math>|u|_{2,\alpha;\Omega} \leq C(n,\alpha,\lambda,\Lambda,\Omega) (|u|_{0,\Omega} + |f|_{0,\alpha;\Omega} + |\phi|_{2,\alpha;\partial\Omega}).</math>
При этом, если решение u удовлетворяет принципу максимума, то первый член в правой части можно опустить.
Литература
- Schauder, Juliusz (1934), "Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung", Mathematische Zeitschrift (in German), Berlin, Germany: Springer-Verlag, 38 (1), pp. 257–282, doi:10.1007/BF01170635 MR1545448
- Schauder, Juliusz (1937), "Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen" (PDF), Studia Mathematica (in German), Lwów, Poland: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, 5, pp. 34–42
- Courant, Richard; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics, 2 (1st English ed.), New York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4
- Han, Qing; Lin, Fanghua (1997), Elliptic Partial Differential Equations, New York: Courant Institute of Mathematical Sciences, ISBN 0-9658703-0-8, OCLC 38168365 MR1669352
