Русская Википедия:О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

«О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений» (Шаблон:Lang-de) — написанная Вернером Гейзенбергом статья, которая появилась в Zeitschrift für Physik в сентябре 1925 года и заложила основу квантовой механики. Статья поступила в редакцию 25 июля 1925 года — этот день может считаться днём рождения современной квантовой теорииШаблон:Sfn.

Выздоравливая от сенной лихорадки на острове Гельголанд, Гейзенберг работал над статьёй, состоя в переписке по этому поводу с Вольфгангом ПаулиШаблон:Sfn. Когда его спросили, что он думает о рукописи, Паули ответил положительноШаблон:Sfn, но Гейзенберг сказал, что он всё ещё «очень не уверен в этом». В июле 1925 года он отправил рукопись Максу Борну для рецензирования и принятия решения о её публикацииШаблон:Sfn.

В статье Гейзенберг попытался объяснить уровни энергии одномерного Шаблон:Iw, избегая представлений о ненаблюдаемых электронных орбитах, используя наблюдаемые величины, такие как вероятности перехода для «Шаблон:Iw», что потребовало использования двух индексов, соответствующих начальному и конечному состояниям.

Также в работе появился коммутатор Гейзенберга, его закон умножения, необходимый для описания определённых свойств атомов, посредством чего произведение двух физических величин не коммутирует. Следовательно, PQ будет отличаться от QP, где, например, P — это импульс электрона, а Q — его координата. Поль Дирак, получивший корректурный экземпляр статьи в августе 1925 года, понял, что закон коммутативности не имел законченного вида и создал алгебраическое выражение тех же результатов в более логической форме.

Содержание

Квантовая кинематика

Абстракт статьи формулирует главную цель статьи Шаблон:Начало цитатыВ этой работе делается попытка получить основы квантовотеоретической механики, которые базируются исключительно на соотношениях между принципиально наблюдаемыми величинами. Шаблон:Конец цитаты В качестве «ненаблюдаемых» величин, которые использовались в старой квантовой теории: координаты и период обращения электрона. Соответственно наблюдаемыми были величины доступные в эксперименте: энергии боровских орбит <math>W(n)</math>, и частоты переходов: Шаблон:NumBlk где Шаблон:Math — натуральное число, обозначающее первоначальный энергетический уровень, а новый уровень обозначается индексом Шаблон:Math. Вместо обычной кинематики, то есть поиска траектории электрона Шаблон:Math, Гейзенберг предложил рассматривать вероятности перехода между стационарными боровскими орбитами. Траекторию для электрона (рассматривается одномерная задача) находящемся на уровне Шаблон:Math с фундаментальной частотой Шаблон:Math можно представить в виде ряда Фурье: Шаблон:NumBlk Мощность излучения Шаблон:Math-гармоники можно взять из формулы Лармора для классического ускоренного электрона, который движется в параболическом потенциале Шаблон:NumBlk где Шаблон:Math — заряд электрона, Шаблон:Math — скорость светаШаблон:Sfn. Классическую формулу Гейзенберг переписывает, чтобы согласовать с квантовыми величинами Шаблон:Math заменяется выражением Шаблон:EquationNote, для фурье-компоненты Шаблон:Math — Шаблон:Math. Правая часть Шаблон:EquationNote заменяется произведением энергии и вероятности перехода Шаблон:NumBlk Амплитуду перехода Шаблон:Math Гейзенберг также относит к наблюдаемой величинеШаблон:Sfn. Эта величина описывает только один переход, а для полной вероятности перехода нужно рассмотреть все величины <math>X(nn-\alpha)\exp[i\omega(n,n-\alpha)t]\,.</math> Дальше автор задаёт вопрос о представлении квадрата траектории частицы Шаблон:Math, что оказывается произведением двух рядов Фурье Шаблон:EquationNote для классической частицы: Шаблон:NumBlk и после замены переменных <math>\beta=\alpha-\gamma</math> Шаблон:NumBlk где Шаблон:NumBlk Квантовым аналогом Шаблон:EquationNote будет выражение вида <math>Y(n,n-\beta)\exp[i\omega(n,n-\beta)t]\,.</math> Комбинационный принцип РитцаШаблон:Sfn используется для построения аналога Шаблон:EquationNote: Шаблон:NumBlk из которого следует правило для умножения амплитут переходаШаблон:Sfn Шаблон:NumBlk Гейзенберг замечает, что произведение Шаблон:Math получается аналогично, но рассмотрение произведений двух величин Шаблон:Math встречается с трудностью, поскольку в квантовой теории, в отличие от классической, выражение может отличаться от Шаблон:Math, что он интерпретировал, как важную особенность квантовой кинематики.

Квантовая динамика

Гейзенберг установил наблюдаемые величины для новой квантовой теории: амплитуды перехода и частоты. Переходя к рассмотрению динамики на примере одномерного гармонического осциллятора, решение которого в старой квантовой теории заключалось в интегрировании уравнений движения Шаблон:NumBlk и получения квантовых условий для периодических движений Шаблон:NumBlk где Шаблон:Math — постоянная Планка. Для классического осциллятора, подставляя разложение координаты в виде ряда Фурье Шаблон:EquationNote в Шаблон:EquationNote можно получить рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения. Используя ранее выведенные новые кинематические наблюдаемые величины можно получить аналогичные рекуррентные соотношения для определённого выражения Шаблон:Math, что рассмотрено ниже. Для квантовых условий он использовал тот же классический ряд Шаблон:EquationNote, который приводит к выражению Шаблон:NumBlk Приравнивая это выражение к Шаблон:Math и дифференцируя по Шаблон:Math, Гейзенберг получает выражение Шаблон:NumBlk в котором величины Шаблон:Math определены с точность до константы. Это выражение можно записать в новых налюдаемых величинах после использования правила соответствия Бора Шаблон:NumBlk которое представляет собой правило сумм Томаса — Куна. Теперь Гейзенберг решает систему Шаблон:EquationNote и Шаблон:EquationNote для конкретного вида силы <math>f(x)=\omega_0^2x+\lambda x^2\,,</math> который представляет собой одномерный ангармонический осциллятор.

Решение для ангармонического осциллятора

Классическое уравнение движения для ангармонического осциллятора по предположению Гейзенберга также описывает и квантовую динамикуШаблон:Sfn Шаблон:NumBlk Это уравнение выражается в наблюдаемых величинах с использованием Шаблон:EquationNote принимает вид Шаблон:NumBlk Это выражение принимает рекуррентный вид для каждого значения Шаблон:Math. Затем он строит теорию возмущений по малому параметру для ангармонического осциллятора, разлагая классическое решение Шаблон:EquationNote в ряд: Шаблон:NumBlk коэффициенты которого также разлагаются в ряды по малому параметру Шаблон:NumBlk Шаблон:NumBlk а также частоту Шаблон:NumBlk Поставляя Шаблон:EquationNote в Шаблон:EquationNote получается система уравнений для коэффициентов разложения. Для нахождения этих коэффициентов в первом порядке теории возмущений необходимо ограничиться только членами при первой степени Шаблон:Math. Используя аналогичный метод для квантовых наблюдаемых Гейзенберг приходит к квантовым уравниям на коэффициенты разложения и строит решения для них. В первом порядке Шаблон:NumBlk Шаблон:NumBlk{\omega_0^{2(\alpha-1)}}\sqrt{\frac{n!}{(n-\alpha)!}} \,.</math>|Шаблон:EquationRef}} где <math>\beta=\sqrt{h/\pi m\omega_0}\,</math> и <math>A_{\alpha}</math> — численный коэффициент зависящий от Шаблон:Math. Для энергии осциллятора он находит выражение в классическом случае Шаблон:NumBlk и в квантовом случае Шаблон:NumBlk сравнивает результат вычислений во втором порядке теории возмущений по Шаблон:Math, который согласуется с предыдущими вычислениями по старой теории.

История

В первом письме к Паули 29 сентября 1922 года он рассматривает взаимодействие ангармонического классического осциллятора с излучением, но вводит затухание без объяснения его механизмаШаблон:Sfn. В письме к Р. Кронигу от 5 июня 1925 года Гейзенберг уже использует новую квантовую теорию для решения ангармонического осциллятора. Уже в этом письме он приводит эквивалент произведения классических гармоник

<math>b_2\textrm{e}^{2i\omega t}=(a_1\textrm{e}^{i\omega t})^2\,,</math>

в квантовых наблюдаемых величинахШаблон:Sfn

<math>b(n,n-2)=a_1(n,n-1)a_1(n-1,n-2)\,.</math>

Это выражение эквивалентно произведению элементов матриц. Видимо Гейзенберг открыл его в июнеШаблон:Sfn.

В июне 1925 года Гейзенберг страдал сильным приступом сенной лихорадки, поэтому по совету врача переехал из Геттингена на остров Гельголанд, где отсутствовала цветущая растительность. Там его идеи о новой квантовой теории приняли завершённую формуШаблон:Sfn. В письме 21 июня к Паули он записывает энергию квантового гармонического осциллятора, а в письме от 24 июня рассматривает ангармонический осциллятор более подробно, что позже появляется в его статьеШаблон:Sfn. 29 июня он удостоверился в правильность своего результата, а через десять дней закончил написание манускрипта и отослал статью Паули спросив его мнениеШаблон:Sfn.

Оценки

Ван дер Варден выделяет следующие главные результаты статьи Гейзенберга:

1. классическая механика теряет свою применимость для атомных масштабов;
2. классическая механика должны быть предельным случает квантовой теории для больших квантовых чисел, в согласии с принципом соответствия;
3. удачным методом связать квантовую и классическую теорию следует считать замену дифференциалов в классических выражениях на конечные разности в квантовом случае;
4. основную проблему с пониманием механики при атомных размерах Гейзенберг видел не в отклонении от классических законах, а в неприемлемости кинематического описания движения как таковогоШаблон:Sfn;
5. отказ от классической интерпретации координаты Шаблон:Math в уравнении движенияШаблон:Sfn;
6. использование переходных величин (Шаблон:Lang-en) вместо потерявших значение координатШаблон:Sfn;
7. нахождение связи переходных величин с наблюдаемыми интенсивностями спектральных линийШаблон:Sfn;
8. формулировка квантовой механики исключительно в терминах наблюдаемых величинШаблон:Sfn;
9. формулировка правил умножения квантовых наблюдаемых, которые позже были интерпретированы в виде правил произведения матрицШаблон:Sfn;
10. формулировка правил квантования;
11. существование основного состояния квантовой системыШаблон:Sfn.

Результат полученный Гейзенбергом для энергии гармонического осциллятора содержал энергию нулевых колебаний, которые обнаружил Р. Милликен за полгода до публикации его статьиШаблон:Sfn. Непоследовательность теории Бора с воображаемыми классическими траекториямиШаблон:Sfn оказалась несогласованной с комбинационным принципом Ритца, как показал ГейзенбергШаблон:Sfn. Статья заложила основу матричной механики, позже развитой М. Борном и Паскуалем Йорданом. Когда М. Борн прочитал статью, он понял, что формулировку Гейзенберга можно переписать на математически строгом языке матриц. М. Борн с помощью своего помощника и бывшего ученика П. Йордана немедленно переписал в новой форме, и они представили свои результаты для публикации. М. Борн сформулировал квантовые условия Гейзенберга в современной форме соотношения неопределённости <math>\textbf{pq}-\textbf{qp}=\frac{h}{2\pi i}\textbf{1}\,,</math> где 1 — единичная матрицаШаблон:Sfn. М. Борн назвал Гейзенберга «талантливым невеждой» из-за его незнания математического аппарата матриц, но способности открыть его зановоШаблон:Sfn. Их рукопись была получена для публикации всего через 60 дней после статьи Гейзенберга. Последующая статья всех трёх авторов, расширяющая матричную механику до нескольких измерений, была представлена к публикации до конца года.

Несмотря на основополагающий вклад в создание современной квантовой теории, статья Гейзенберга трудна для восприятия: например, С. Вайнберг говорил, что так и не смог понять мотивацию некоторых математических переходов автора. Э. Ферми также не смог разобраться с квантовой механикой основываясь на работе Гейзенберга и изучал её на основе теории Э. ШрёдингераШаблон:Sfn. Н. Бор высоко оценил формализованную математически связь результатов Гейзенберга с принципом соответствияШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite book

Ссылки

• Русский перевод: Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite web