Русская Википедия:Параболическое уравнение
Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.
Определение
Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции <math> u : R^n \rightarrow R </math>:
- <math> \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \frac{\partial ^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k \frac{\partial u}{\partial x_k} + c u = f(x_1,\ldots , x_n)</math>
При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: <math> a_{ij} = a_{ji} </math>. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:
- <math>\left ( \nabla A \nabla ^T \right )u + \mathbf{b} \cdot \nabla u + c u = f(x_1,\ldots , x_n)</math>,
где <math>A = A^T</math>.
Матрица <math>A</math> называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна <math>(n-1, 0)</math>, то есть матрица <math>A</math> имеет одно собственное значение равное нулю и <math>n-1</math> собственных значений имеют одинаковый знак, то уравнение относят к параболическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется параболическим, если оно представимо в виде:
- <math> Lu + a \frac{\partial u}{\partial t} = f(x_1,\ldots , x_{n-1}, t) </math>,
где: <math>L</math> — эллиптический оператор, <math>a \neq 0</math>.
Решение параболических уравнений
Для нахождения единственного решения уравнение рассматривается в совокупности с начальными и краевыми условиями. Поскольку по времени уравнение имеет первый порядок, то начальное условие накладывается одно: на искомую функцию.
- Для нахождения решений параболических уравнений, в том числе и абстрактных параболических уравнений, могут применяться методы теории полугрупп операторов.
- Для аналитического решения параболических уравнений в бесконечной области (задача Коши для параболического уравнения) используют специальную интегральную формулу[2].
- Для аналитического решения параболических уравнений в конечной области может применяться метод разделения переменных Фурье.
- Для численного решения параболических уравнений используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объёмов, а также их комбинации и другие численные методы, подходящие под решаемую задачу.
Принцип максимума
Для параболического уравнения вида:
- <math>-a^2\Delta u + \partial_t u = 0 \ (x_1,\ldots\,x_{n-1}) \in \Omega</math>
Решение <math>u(x_1, \ldots, x_{n-1}, t)</math> принимает своё максимальное значение либо при <math>t=0</math>, либо на границе области <math>\Omega</math>.
Примеры параболических уравнений
- Уравнения описывающие процессы конвекции и диффузии, в том числе уравнение диффузии и его частный случай — уравнение теплопроводности.
- Система уравнений Навье-Стокса, описывающее движение жидкости и газов является системой параболических уравнений с дивергентными ограничениями.
- Для некоторых типов сред из уравнений Максвелла можно получить параболические уравнения относительно векторов <math>\mathbf{A}</math> или <math>\mathbf{E}</math>.[3]
См. также
Примечания
