Русская Википедия:Парадокс Бурали-Форти

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория множеств, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка

В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одна из возможных формулировок.

Можно доказать, что если <math>x</math> — произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма <math>\textstyle\bigcup x</math> есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов <math>x</math>. Предположим теперь, что <math>\Omega</math> — множество всех порядковых чисел. Тогда <math>\textstyle\bigcup \Omega</math> — порядковое число, большее или равное любому из чисел в <math>\Omega</math>. Но тогда и <math>\textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1</math> — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в <math>\Omega</math>. Но это противоречит условию, по которому <math>\Omega</math> — множество всех порядковых чисел.

История

Парадокс был обнаружен Шаблон:Нп3 в 1897 году и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что наивная теория множеств противоречива, а следовательно, непригодна для нужд математики. Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех <math>x</math> таких, что <math>P</math>» (<math>\{x \mid P\}</math>).

Современная аксиоматическая теория множеств накладывает строгие ограничения на вид условия <math>P</math>, с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа Гёделя — Бернайса позволяется образование терма <math>\{x \mid P\}</math> для произвольных <math>P</math>, но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а классом.

См. также

• Парадокс Рассела
• Парадокс Кантора
• Парадокс Мириманова

Литература

• Шаблон:Статья