Русская Википедия:Парадокс Кантора

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Rq Парадо́кс Ка́нтора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка

Предположим, что множество всех множеств <math>V = \{x \mid x = x\}</math> существует. В этом случае справедливо <math>\forall x \forall T (x \in T \rightarrow x \in V)</math>, то есть всякое множество <math>T</math> является подмножеством <math>V</math>. Но из этого следует <math>\forall T\; |T| \leqslant |V|</math> — мощность любого множества не превосходит мощности <math>V</math>.

Но в силу аксиомы существования множества всех подмножеств для <math>V</math>, как и любого множества, существует множество всех подмножеств <math>\mathcal P(V)</math>, и по теореме Кантора <math>|\mathcal P (V)| = 2^{|V|} > |V|</math>, что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, <math>V</math> не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что <math>\exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow A)</math> для любой формулы <math>A</math>, не содержащей <math>y</math> свободно.

Другая формулировка

Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно <math>\mu</math>. Тогда по теореме Кантора <math>2^\mu > \mu</math>.

Выводы

Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 года, обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 года) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом <math>\exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow A)</math> отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой <math>A</math>.

См. также

• Парадокс Бурали-Форти
• Парадокс всемогущества
• Парадокс Рассела