Русская Википедия:Парадокс Клейна в графене
Шаблон:Не путать Шаблон:Графен Парадо́кс Кле́йна в графе́не — прохождение любых потенциальных барьеров без обратного рассеяния под прямым углом. Эффект связан с тем, что спектр носителей тока в графене линейный и квазичастицы подчиняются уравнению Дирака для графена. Эффект предсказан теоретически в 2006 году[1] для прямоугольного барьера.
Теория
Квазичастицы в графене описываются двумерным гамильтонианом для безмассовых дираковских частиц
- <math>\hat{H}=-i\hbar v_F\sigma\cdot\nabla,</math>
где <math>\hbar</math> — постоянная Планка деленная на 2 π, <math>v_F</math> — Ферми скорость, <math>\sigma=(\sigma_x,\sigma_y)</math> — вектор оставленный из матриц Паули, <math>\nabla=(\nabla_x,\nabla_y)</math> — оператор набла. Пусть есть потенциальный барьер с высотой <math>V_0</math> и шириной <math>D</math>, а энергия налетающих частиц равна <math>E</math>. Тогда из решения уравнения Дирака для областей слева барьера (индекс I), в самом барьере (II) и справа от барьера (III) запишутся в виде плоских волн как для свободных частиц:
- <math>
\psi_I(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ se^{i\phi} \end{pmatrix}e^{i(k_xx+k_yy)}+\frac{r}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ se^{i(\pi-\phi)} \end{pmatrix}e^{i(-k_xx+k_yy)}, </math>
- <math>
\psi_{II}(\mathbf{r})=\frac{a}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ s'e^{i\theta} \end{pmatrix}e^{i(q_xx+k_yy)}+\frac{b}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ s'e^{i(\pi-\theta)} \end{pmatrix}e^{i(-q_xx+k_yy)}, </math>
- <math>
\psi_{III}(\mathbf{r})=\frac{t}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ se^{i\phi} \end{pmatrix}e^{i(k_xx+k_yy)}, </math>
где приняты следующие обозначения для углов <math>\phi=\arctan{(k_y/k_x)}</math>, <math>\theta=\arctan{(k_y/q_x)}</math>, и волновых векторов в I-ой и III-ей областях <math>k_x=k_F\cos{\phi}</math>, <math>k_y=k_F\sin{\phi}</math>, и во II-ой области под барьером <math>q_x=\sqrt{(V_0-E)^2/\hbar^2v_F^2-k_y^2}</math>, знаков следующих выражений <math>s=\mathrm{sign}(E)</math> и <math>s'=\mathrm{sign}(E-V_0)</math>. Неизвестные коэффициенты <math>r</math>, <math>t</math> амплитуды отражённой и прошедшей волны соответственно находятся из непрерывности волновой функции на границах потенциала.
Для коэффициента прохождения как функции угла падения частицы получено следующее выражение[2]
- <math>T(\phi)=\frac{\cos^2{\theta}\cos^2{\phi}}{[\cos{(Dq_x)}\cos{\phi}\cos{\theta}]^2+\sin^2{(Dq_x)[1-ss^{'}\sin{\phi}\sin{\theta}]^2}}.</math>
На рисунке справа показано как изменяется коэффициент прохождения в зависимости от ширины барьера. Показано, что максимальная прозрачность барьера наблюдается при нулевом угле всегда, а при некоторых углах возможны резонансы.
Примечания
- ↑ Katsnelson M. I., et. al. «Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene» Nature Physics 2, 620 (2006) Шаблон:DOI Препринт Шаблон:Wayback
- ↑ Castro Neto A. H. cond-mat Шаблон:Wayback
