Русская Википедия:Парадокс субмарины
Парадо́кс субмари́ны (иногда называемый парадо́ксом Са́ппли) — мысленный эксперимент в рамках теории относительности Эйнштейна, приводящий к трудноразрешимому парадоксу.
Согласно специальной теории относительности Эйнштейна с точки зрения неподвижного наблюдателя размеры объекта, движущегося со скоростью, близкой к скорости света, уменьшаются в направлении движения. Однако с точки зрения объекта, напротив, именно неподвижные наблюдатели кажутся короче.
Если предположить, что некая подлодка движется под водой с околосветовой скоростью, неподвижным наблюдателям она покажется сжавшейся. Плотность её, соответственно, должна увеличиться, что непременно потянет её на дно. Но со стороны объекта — находящегося на борту подлодки экипажа — всё воспринималось бы с точностью до наоборот: «бегущая» вода вокруг них сжимается, а значит становится более плотной и выталкивает лодку на поверхность.
В 1989 году Джеймс Саппли разрешил парадокс с использованием специальной теории относительности. В честь него эту задачу называют также «Парадокс Саппли».
В 2003 году бразилец Джордж Матсас из Сан-Паулу рассмотрел этот парадокс, используя общую теорию относительности. У обоих учёных вывод был одинаков: подлодка будет погружаться.
Учёные объясняют парадокс по-разному. На слои и на лодку действует масса факторов, требующих обязательного учёта для успешного решения этого парадокса. Здесь и увеличение воздействия гравитации на лодку, которая потянет её вниз, и искажение формы слоёв воды вверх (они «задираются» с точки зрения подлодки из-за нарушения одновременности начала ускорения).
Суть решения
Всё рассмотрение можно вести в рамках специальной теории относительности, переходя в движущуюся с ускорением систему отсчёта (в которой удобно ввести координаты Риндлера). Проще, однако, рассмотреть всё из инерциальной системы отсчёта, где ускорение жидкости вызывается какой-либо причиной, например, жидкость электрически заряжена и находится в электрическом поле, либо её подпирает ускоренно движущаяся стенка. Важно, что эта причина не ускоряет подлодку — например, подводная лодка нейтральна, либо не контактирует со стенкой. Ограничимся начальным моментом времени, когда жидкость покоится, а скорость подлодки равна 0 для «неподвижного» случая, и <math>v</math> (с соответствующим <math>\gamma= \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>) для «движущегося».
С точки зрения инерциальных наблюдателей ускорение подводной лодки (не важно, в покое или в движении) вызывается передачей импульса от молекул жидкости к молекулам подводной лодки — это микроскопическое определение давления. Эта передача пропорциональна площади поверхности жидкости, контактирующей с подлодкой, и, соответственно, уменьшается в <math>\gamma</math> раз при сокращении подводной лодки из-за её движения. Поэтому передача импульса равна <math>\frac{dp_0}{dt}</math> для «неподвижной» подлодки, и <math>\frac{dp}{dt}=\frac{1}{\gamma}\frac{dp_0}{dt}</math> для «движущейся». Теперь несложно вычислить ускорения, получаемые подлодками в начальный момент: для «неподвижной» подлодки это будет величина, по условию совпадающая с ускорением жидкости
<math>a_0=\frac{1}{m}\frac{dp_0}{dt},</math>
где <math>m</math> — масса подлодки, а для «движущейся»
<math>a=\frac{1}{\gamma m}\frac{dp}{dt}=\frac{1}{\gamma^2 m}\frac{dp_0}{dt}=\frac{a_0}{\gamma^2},</math>
где учтено, что подводная лодка ускоряется перпендикулярно направлению своего движения. Как видно, ускорение «движущейся» подлодки меньше, чем покоящейся — она затонет.
Теперь рассмотрим ситуацию в системе отсчёта, где подлодка «неподвижна», но двигается жидкость. Плотность жидкости из-за её релятивистского сокращения возрастёт, что увеличит силу Архимеда в <math>\gamma</math> раз, то есть передача импульса станет равна <math>\frac{dp'}{dt'}=\gamma\frac{dp_0}{dt}</math>, что вызовет ускорение подлодки
<math>a_s'=\frac{1}{m}\frac{dp'}{dt'}=\gamma a_0.</math>
Однако при переходе в эту инерциальную систему отсчёта ускорение жидкости также изменится. Выделив в жидкости некоторый уровень, имеем в исходной системе его уравнение движения <math>z=a_0t^2/2</math>, а в новой, согласно преобразованиям Лоренца для месторасположения подводной лодки <math>x=vt \Rightarrow t=\gamma t'</math>, получаем <math>z'=z=a_0t^2/2=a_0\gamma^2t'^2/2=a't'^2/2,</math> то есть ускорение уровня жидкости, измеряемое с подлодки, равно <math>a_l'=\gamma^2 a_0</math>. Оно больше ускорения подлодки — она затонет.
Точно такой же результат получается, если взять правильное уравнение гиперболического движения <math>z = \frac{c}{a\sqrt{c^2+a^2t^2}} - \frac{c^2}{a} + z_0</math> вместо приближённого, верного лишь вблизи <math>t = 0, \ z = \frac{a_0t^2}{2}</math> . Есть ещё некоторый эффект, связанный с нарушением одновременности ускорения различных частей жидкости относительно системы отсчёта подлодки, но он может быть сведён к пренебрежимо малой величине выбором малого ускорения и/или размера подлодки в направлении движения (смотри работу Матсаса для подробного разбора).
Ссылки
- George E. A. Matsas. Relativistic Arquimedes law for fast moving bodies and the general-relativistic resolution of the «submarine paradox». Phys. Rev. D68 (2003) 027701
- Теория относительности топит субмарины
