Русская Википедия:Парадокс туннельного эффекта
Парадокс туннельного эффекта — утверждение о том, что способность микрочастиц проходить через потенциальный барьер с высотой, большей их полной энергии, якобы противоречит закону сохранения энергии. Для выполнения закона сохранения энергии в этом случае, кинетическая энергия частиц якобы должна быть отрицательной.
Физический смысл объяснения данного парадокса заключается в том, что вследствие неопределённости координаты частицы в процессе её прохождения через барьер, равной его ширине, как результат принципа неопределённости, возникает неопределённость в проекции импульса <math>p_x</math> и её кинетической энергии <math>\Delta T</math>, так, что <math>\Delta T > (U_m-E)</math>, где <math>U_{m}</math> — максимальная высота барьера, <math>E</math> — полная энергия частицы. Поэтому нарушения закона сохранения энергии не происходит[1][2].
Формулировка парадокса
Рассмотрим частицу с полной энергией <math>E</math>, проходящую через потенциальный барьер с высотой <math>U_{m}</math>. Пусть полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера <math>E < U_{m}</math>. Полная энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальных энергий <math>E=\frac{p^2}{2m} + U(x)</math>. Тогда в области, где высота потенциального барьера больше полной энергии частицы <math>U(x) > E</math>, кинетическая энергия должна быть отрицательной <math>T = \frac{p^2}{2m} < 0</math>.
Объяснение парадокса
Квантовая механика не позволяет рассматривать полную энергию частицы в виде суммы потенциальной и кинетической энергий. Использование формулы <math>E=\frac{p^2}{2m} + U(x)</math> означает, что мы одновременно знаем величину потенциальной <math>U(x)</math> и кинетической <math>T=\frac{p^2}{2m}</math>энергии. Но для знания кинетической энергии необходимо точно знать импульс <math>p</math>, а для знания потенциальной энергии — координату <math>x</math> частицы, что запрещено принципом неопределённости. Таким образом, в квантовой механике невозможно деление полной энергии на кинетическую и потенциальную, следовательно бессмысленно утверждение о точном значении кинетической энергии.
Теперь осталось лишь уточнить, можно ли в результате измерения координаты частицы обнаружить частицу внутри потенциального барьера и при этом установить, что её полная энергия меньше энергетической высоты барьера.
Из формулы для туннельного эффекта следует, что частицы проникают внутрь потенциального барьера главным образом лишь на расстояние <math>l</math>, определяемую приближённым равенством <math>\frac{2}{\hbar}\sqrt{2m{ \left( U_{m} - E \right) }} l \approx 1</math>. Чтобы обнаружить частицу внутри потенциального барьера, мы должны измерить её координату с точностью не большей, чем глубина её проникновения <math>\Delta x < l</math>. Но тогда вследствие принципа неопределённости импульс частицы приобретает дисперсию <math>\bar{\Delta p^{2}} > \frac{\hbar^2}{4 \bar{\Delta x^2}} = \frac{\hbar^2}{4 l^2}</math>. Величину <math>l</math> можно найти из формулы <math>\frac{2}{\hbar}\sqrt{2m{ \left( U_{m} - E \right) }} l \approx 1</math>, в результате получаем <math>\frac{\bar{\Delta p^2}}{2m} > U_{m} - E</math>.
Итак, вследствие неопределённости координаты частицы в процессе её прохождения через барьер, как результат принципа неопределённости, возникает неопределённость проекции её импульса <math>p_x</math>, которая увеличивает кинетическую энергию частицы на величину, требуемую для прохождения барьера <math>U_{m}</math>[1][2].
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М., Высшая школа, 1961. — c. 329
- ↑ 2,0 2,1 Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — М., Оникс, 2007. — ISBN 978-5-488-01248-6. — с. 774
