Русская Википедия:Параллелизуемое многообразие

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Параллелизуемое многообразие — многообразие <math>M</math> размерности <math>n</math>, допускающее поле реперов <math>e=(e_1,e_2,...,e_n)</math>, то есть <math>n</math> линейно независимых в каждой точке векторных полей <math>e_i</math>.

Поле <math>e</math> задает изоморфизм касательного расслоения <math>TM\to M</math> на тривиальное расслоение <math>\R^n\times M\to M</math>, сопоставляющий касательному вектору <math>v\in TM</math> его координаты относительно репера <math>e</math> и его начало. Поэтому параллелизуемое многообразие можно также определить как многообразие, имеющее тривиальное касательное расслоение.

Примеры

• открытые подмногообразия евклидова пространства,
• все трёхмерные ориентируемые многообразия,
• произвольные группы Ли,
• многообразие реперов произвольного многообразия.
• Сферы <math>S^n</math> являются параллелизуемыми только при <math>n=1, 3, 7</math>.

Свойства

• Для параллелизуемости 4-мерного многообразия необходимо и достаточно обращение в нуль его второго характеристического класса Штифеля — Уитни.
• В общем случае равенство нулю всех характеристических классов Штифеля — Уитни, Чжэня и Понтрягина является необходимым, но недостаточным условием для того, чтобы многообразие <math>M</math> было параллелизуемо.