Русская Википедия:Параллелограмм
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Параллелогра́мм (Шаблон:Lang-grc ← Шаблон:Lang-grc2 «параллельный» + Шаблон:Lang-grc2 «линия») — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. (См. другие определения Шаблон:Переход)
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Свойства
- Противолежащие стороны параллелограмма равны.
- Противолежащие углы параллелограмма равны.
- Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
- Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
- <math>\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|</math>.
- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
- Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
- Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
- Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть
- <math>a</math> — длина стороны <math>AB</math>,
- <math>b</math> — длина стороны <math>BC</math>,
- <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей; тогда
- <math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).</math>
- Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
- Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Признаки параллелограмма
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
- У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD, AB \parallel CD</math>.
- Все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C, \angle B = \angle D</math>.
- У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD, BC=DA</math>.
- Все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD, BC \parallel DA</math>.
- Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC, BO = OD</math>.
- Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>.
Площадь параллелограмма
- Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
- Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
- <math>S = bh</math> , где <math>b</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне.
- Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними:
- <math>S = ab\sin \alpha,</math>
- где <math>a</math> и <math>b</math> — смежные стороны, <math>\alpha</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>.
- Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны <math>a,\ b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:
- <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>
- где <math>p=(a+b+d)/2.</math>
См. также
Примечания
Шаблон:Rq Шаблон:Многоугольники
