Русская Википедия:Параллельная кривая

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Evolute and parallel.gif

Эллипс (красный), его эволюта (синий) и несколько параллельных кривых (зелёный). Обратите внимание, как изламываются параллельные кривые при встрече с эволютой.

Параллельная кривая или эквидистанта плоской кривой — огибающая семейства окружностей равного радиуса, центры которых лежат на заданной кривой. Понятие параллельной кривой — обобщение понятия параллельной прямой на случай плоских кривых.

Для параметрически заданной кривой параллельная кривая, проходящая на расстоянии <math>a</math> от данной определяется уравнениями

<math>X=x+\frac{ay'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}</math>,

<math>Y=y-\frac{ax'}{\sqrt {x'^2+y'^2}}</math>.

Или в векторной форме:

<math>\vec{r} = r(t)</math>

<math>\vec{R} = \vec{r} + a \frac{\vec{r}\,'}{|\vec{r}\,'|} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \vec{r} + \frac{\vec{r}\,'}{|\vec{r}\,'|} \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}</math>,

где матрица <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math> соответствует повороту вектора на 90° по часовой стрелке.

Свойства

• Ориентированная кривизна <math>k_a</math> параллельной кривой <math>\gamma_a</math> выражается через кривизну <math>k</math> исходной кривой <math>\gamma</math> по формуле

  <math>k_a=\frac{k}{|1-a\cdot k|}.</math>

См. также

• Эволюта
• Эвольвента
• Эквидистанта

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Эквидистанта и не только...

Литература

• Дингельдэй Ф. Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй. — СПб: Тип. А. С. Суворина, 1912. — с. 65—66, 221—222.