Русская Википедия:Параллельное перенесение
Параллельное перенесение — изоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения <math>\eta:E\to B</math>, определяемый некоторой заданной связностью на <math>E</math>. В частности, линейный изоморфизм касательных пространств <math>T_{\gamma(0)}(M)</math> и <math>T_{\gamma(1)}(M)</math>, определяемый вдоль кривой <math>\gamma\in M</math> некоторой заданной на <math>M</math> аффинной связностью.
Параллельное перенесение по аффинной связности
Пусть на гладком многообразии <math>M</math> задана аффинная связность. Говорят, что вектор <math>X_1\in T_{\gamma(1)}(M)</math> получен параллельным перенесением из вектора <math>X_0\in T_{\gamma(0)}(M)</math> вдоль не имеющей самопересечений гладкой кривой <math>\gamma:[0,1]\to M</math>, если в окрестности этой кривой существует гладкое векторное поле <math>X</math> со следующими свойствами:
- выполняются равенства <math>X(\gamma(0))=X_0</math> и <math>X(\gamma(1))=X_1</math>;
- для любого значения <math>t\in [0,1]</math> выполняется равенство <math>\nabla_{\dot\gamma(t)}X=0</math>, где символ <math>\nabla</math> обозначает ковариантную производную, а <math>\dot\gamma(t)</math> есть вектор скорости <math>\gamma</math>.
Замечание. Так как в локальных координатах справедливо равенство:
- <math>(\nabla_{\dot\gamma}X)^i = \frac{d}{dt}X^i + \Gamma^i_{jk}\cdot X^j\dot\gamma^k</math>,
и в этом выражении нет частных производных от компонент вектора <math>X</math>, в определении параллельного перенесения не обязательно требовать, чтобы векторное поле <math>X</math> было определено в целой окрестности пути <math>\gamma(t)</math>, достаточно, чтобы оно существовало и было гладким вдоль одного только этого пути.
Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её не имеющих самопересечений гладких кусков.
На основе понятия параллельного переноса вектора определяются понятия параллельного переноса тензора произвольной валентности.
Свойства параллельного перенесения векторов
- Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, решение задачи Коши произвольного линейного ОДУ продолжается неограниченно вдоль любой гладкой кривой, поэтому задавая вектор в начальной точке и указывая путь параллельного перенесения, этот вектор однозначно переносится в любую точку этого пути.
- При перенесении векторов вдоль одного и того же пути сохраняются все линейные соотношения между ними.
- Перенесение векторов обратимо: достаточно конечные вектора перенести вдоль обратного пути, чтобы получились исходные вектора.
- Как следствие двух предыдущих свойств получается, что оператор параллельного переноса вдоль кривой <math>\gamma</math> представляет собой линейный изоморфизм пространств <math>T_{\gamma(0)}(M)</math> и <math>T_{\gamma(1)}(M)</math>.
- Если аффинная связность согласована с метрическим тензором на римановом многообразии (связность Леви-Чивиты), тогда оператор параллельного перенесения является ортогональным, то есть сохраняет скалярные произведения векторов, их длины и углы между ними.
- Важным свойством параллельного перенесения является также независимость результата перенесения от параметризации пути (эквивалентные пути дадут одинаковый результат). В то же время параллельное перенесение вдоль различных кривых обычно приводит к различным результатам.
Связанные определения
- Геодезическая — гладкий путь, у которого касательный вектор в каждой точке получается параллельным перенесением касательного вектора из любой другой точки.
- Группа голономии — группа <math>\Phi_x</math> автоморфизмов касательного пространства <math>T_xM</math>, определяемая параллельными переносами вдоль замкнутых кусочно гладких кривых. При этом, для связного многообразия <math>\Phi_x</math> и <math>\Phi_y</math> всегда сопряжены между собой.
История
Развитие понятия параллельного переноса началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости, для которой Миндинг в 1837 указал возможность обобщить её на случай поверхности в <math>\R^3</math> с помощью введенного им понятия развертывания кривой <math>\gamma\in S</math> на плоскость <math>\R^2</math>. Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Леви-Чивиты, который, оформляя аналитически параллельный перенос касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай <math>n</math>-мерного риманова пространства (см. Связность Леви-Чивиты). Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием общей теории связностей.
Литература
- Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
- Шаблон:Книга
