Согласно классическому определению, две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем.
Аналитическое определение паралельных плоскостей:
если плоскости <math>A_{1}x+B_{1}y+C_1z+D_1 = 0</math> и <math>A_{2}x+B_{2}y+C_2z+D_2 = 0</math> параллельны, то нормальные векторы <math>N_1(A_1,B_1,C_1)</math> и <math>N_2(A_2,B_2,C_2)</math> коллинеарны (и обратно). Поэтому условие
<math>\frac{A_2}{A_1} = \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1}</math>[1] есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.
Свойства
- Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны;
- Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну;
- Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны;
- Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.
Признак
- Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.
Примеры
- Плоскости <math>2x-3y-4z+11 = 0</math> и <math>-4x+6y+8z+36=0</math> параллельны, так как <math>\frac{-4}{2} = \frac{6}{-3} = \frac{8}{-4}</math>.
- Плоскости <math>2x-3z-12 = 0 (A_1 = 2, B_1 = 0, C_1 = -3)</math> и <math>4x+4y-6z+7=0 (A_2 = 4, B_2 = 4, C_2 = -6)</math> непараллельны, так как <math>B_1 = 0</math>, а <math>B_2 \ne 0</math>.
Замечание
Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если <math>\frac{A_2}{A_1} = \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{D_2}{D_1},</math>[2] то плоскости совпадают. Так уравнения <math>3x+7y+5z+4=0 </math> и <math>6x+14y+10z+8=0</math> представляют одну и ту же плоскость.
Примечания
Шаблон:Примечания
Шаблон:Нет ссылок
| Партнерские ресурсы |
|---|
| Криптовалюты |
|
|---|
| Магазины |
|
|---|
| Хостинг |
|
|---|
| Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
|---|
- ↑ при <math>A_1,B_1,C_1 \neq 0</math>. Если <math>A_1 = 0</math>, то <math>A_2 = 0, \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1}</math>. Аналогично при <math>B_1 = 0 </math> или <math> C_1 = 0</math>.
- ↑ при <math>A_1,B_1,C_1,D_1 \neq 0</math>. Если <math>A_1 = 0</math>, то <math>A_2 = 0, \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1}=\frac{D_2}{D_1}</math>. Аналогично при <math>B_1 = 0, C_1 = 0</math> или <math>D_1=0</math>.
