Русская Википедия:Параллельные прямые
Паралле́льные прямы́е (от Шаблон:Lang-grc буквально «идущий рядом; идущий вдоль другого») в планиметрии — непересекающиеся прямые. В стереометрии две прямые называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.
В евклидовой геометрии
В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются[1]. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными[2][3].
Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности[4].
Параллельность прямых <math>m</math> и <math>n</math> принято обозначать следующим образом: <math>m\parallel n.</math>
Свойства
- Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже).
- Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
- Соответственные углы равны (Рис.1).
- Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
- Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).
| Файл:Paralelni transverzala cor.svg | Файл:Paralelni transverzala alt.svg | Файл:Transverzala parallel.svg |
| Рис.1: Соответственные углы равны, <math>\alpha = \alpha_1</math>. | Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны, <math>\alpha = \gamma_1</math>. | Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными, <math>\alpha+\delta_1=180^\circ</math>. |
- Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
- Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.
Построение параллельных прямых
Построение двух параллельных прямых на плоскости с помощью циркуля и линейки можно разделить на несколько этапов:
- Построение прямой <math>a</math>, относительно которой нужно построить параллельную прямую.
- Построение прямой <math>b</math>, перпендикулярной прямой <math>a</math> (см. построение перпендикуляра).
- Построение прямой <math>c</math>, перпендикулярной прямой b, и не совпадающей с прямой <math>a</math> (аналогично построению прямой <math>b</math>).
В стереометрии
В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися прямыми.
В геометрии Лобачевского
В геометрии Лобачевского в плоскости через точку <math>C</math> вне данной прямой <math>AB</math> проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих <math>AB</math>. Прямая <math>CE</math> называется равнобежной прямой <math>AB</math> в направлении от <math>A</math> к <math>B</math>, если:
- точки <math>B</math> и <math>E</math> лежат по одну сторону от прямой <math>AC</math>;
- прямая <math>CE</math> не пересекает прямую <math>AB</math>, но всякий луч, проходящий внутри угла <math>ACE</math>, пересекает луч <math>AB</math>.
Аналогично определяется прямая, равнобежная <math>AB</math> в направлении от <math>B</math> к <math>A</math>.
Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися[5].
Свойства
- Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
- Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.
- Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.
См. также
Примечания
Шаблон:Примечания Шаблон:Викисловарь
