Русская Википедия:Параллельный перенос
Паралле́льный перено́с иногда трансляция[1] (от Шаблон:Lang-la — перенос, перемещение) ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Определение
Параллельный перенос ― перемещение всех точек пространства в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Если <math>M</math> ― первоначальное положение, а <math>M'</math> ― смещённое в результате переноса положение точки, то вектор <math>\overrightarrow{MM'}</math> ― один и тот же для всех пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.
Параллельный перенос на вектор <math>\vec a</math> обозначается как <math>T_{\vec a}</math> (от лат. translatio - перенос, перемещение)
Координатное представление
На плоскости параллельный перенос выражается аналитически в прямоугольной системе координат <math>(x,\;y)</math> при помощи
- <math display="inline">(x,\;y)\mapsto(x+a,\;y+b),</math>
где вектор <math>\overrightarrow{MM'}=(a,\;b)</math>.
Свойства
- Две различные точки и их образы, полученные параллельным переносом, являются вершинами параллелограмма, в котором отрезок, соединяющий две начальные точки, образует одну сторону, а отрезок, соединяющий два их образа — противоположную ей сторону.
- У параллельного переноса нет неподвижных точек (если только это не тождественное преобразование, либо если прямая или плоскость не параллельны вектору параллельного переноса (т.к. именно он определяет направление переноса[2])).
- Совокупность всех параллельных переносов образует группу, которая в евклидовом пространстве является нормальной подгруппой группы движений, а в аффинном ― нормальной подгруппой группы аффинных преобразований.
- Параллельный перенос сохраняет направления ( т.е. для любого вектора <math>\vec{a}</math> верно, что <math>f({\vec{a}}) = \vec{a}</math>)
- Преобразование, обратное к параллельному переносу <math>T_{\vec a}</math> есть <math>T_{-\vec a}</math>
- Композиция параллельных переносов <math>T_{\vec a}</math> и <math>T_{\vec b}</math> есть <math>T_{\vec a + \vec b}</math>
- Параллельный перенос переводит прямую в себя или в параллельную ей прямую, а плоскость - в себя или в параллельную ей плоскость.
- Параллельный перенос <math>T_{\vec 0}</math> - это тождественное преобразование.
Вариации и обобщения
- Параллельное перенесение — обобщение понятия «параллельный перенос» на случай искривлённых пространств.
- Поступательное движение — движение в механике, разница положений при котором в любые 2 момента времени представляет собой параллельный перенос.
- Трансляция (кристаллография)
- Трансляционная симметрия
Примечания
Шаблон:Родственные проекты Шаблон:Примечания
- ↑ Паралле́льный перено́с и трансляция ― полные синонимы в математике и физике, вторая форма термина особенно часто употребляется для образования прилагательного, например трансляционная симметрия), также, традиционно, ей отдается почти исключительное предпочтение в некоторых областях, таких, как кристаллография.
- ↑ Шаблон:Книга
